Vereinfachen von Bruechen mit Binomen

18.09.2007, 19:03

morbias_one

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Vereinfachen von Bruechen mit Binomen

Hallo,

ich druecke seit, hm... 10 Jahren das erste mal wieder die Schulbank und habe promt in Mathe die ersten Schwierigkeiten. Wir sind dabei untenstehende Aufgaben zu Vereinfachen und mir will es nicht in den Kopf wie das funktioniert.
Koennt ihr mir mit vielen, leicht verstaendlichen "Zwischenrechnungen" helfen, das in meinem Kopf zu bekommen?

$\begin{eqnarray*} (a^2-25)/(a+5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^2+x-20)/(x-4) \end{eqnarray*}$

Das ganze sollen natuerlich Brueche sein.

Danke schonmal im Vorraus.

Nico

18.09.2007, 19:06

tmo

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beim erstern term einfach im zähler die dritte binomische formel anwenden.

zum zweiten term: kennst du den satz von vieta? alternativ könnte man die polynomdivision durchführen, falls dir das was sagt.

18.09.2007, 19:07

klarsoweit

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RE: Vereinfachen von Bruechen mit Binomen
Beim ersten Term hilft die 3. binomische Formel.
Beim zweiten Term kann man den Ausdruck x² + x - 20 mit Hilfe der Nullstellen faktorisieren. Regel:
Sind a und b Nullstellen von einem quadratischen Polynom x² + p*x + q, dann gilt: x² + p*x + q = (x - a) * (x - b)
Alternativ kannst du da auch Polynomdivision machen.

EDIT: tmo war schneller. traurig

traurig

EDIT2: natürlich geht beim ersten Term auch Polynomdivision.

18.09.2007, 19:14

morbias_one

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Danke schonmal fuer die schnellen Antworten. Ersteinmal zum ersten Term:
Die Dritte Binomische Formel lautet: $\begin{eqnarray*} (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \end{eqnarray*}$ .
Wie kann ich die aber mit dem ersten Term in Verbindung bringen. Ich sehe die dort nicht drin traurig

traurig

Nico

18.09.2007, 19:16

tmo

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$\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ steht doch sogar schon dort.

also muss 25 dein $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ sein. wie ist dann b?

18.09.2007, 19:23

morbias_one

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Ok, $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist dann 5 (Wurzel aus 25), richtig?!
Dann sieht das ganze doch so aus:

$\begin{eqnarray*} (a^2-b^2)/(a+5)=((a+b)*(a-b))/(a+5)=((a+5)*(a-5))/(a+5)=a-5 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Nico

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18.09.2007, 19:26

tmo

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jop das ist richtig. Freude

Freude

18.09.2007, 19:29

morbias_one

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Zitat:

Original von tmo
jop das ist richtig. Freude

Freude

Hui...
Ich moechte mir da immer eine Verfahrensweise merken, wie ich an solche Aufgaben rangehe. Bei sowas "suche" ich mir dann etwas, was auf ein Binom hinweist (bzw. auf welche Binomische Formel). Bei dem 2. Term oben kann ich ja aber nichts davon finden. Koent ihr mir da bitte nochmehr Tipps geben, damit ich auf die Loesung komme?

Nico

18.09.2007, 19:30

tmo

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klarsoweit hat dir doch eigentlich alles nötige gesagt. bestimme erstmal die nullstellen der quadratischen funktion im zähler.

18.09.2007, 19:35

morbias_one

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Zitat:

Original von tmo
klarsoweit hat dir doch eigentlich alles nötige gesagt. bestimme erstmal die nullstellen der quadratischen funktion im zähler.

Als Nullstellen habe ich fuer x1=4 und x2=-5
Wo und wie setzte ich das ein?

18.09.2007, 19:46

tmo

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die nullstellen sind schonmal richtig.

jetzt halt folgenden satz benutzen, den klarsoweit auch schon geschrieben hat:

Zitat:

Sind a und b Nullstellen von einem quadratischen Polynom x² + p*x + q, dann gilt: x² + p*x + q = (x - a) * (x - b)

18.09.2007, 19:51

morbias_one

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Zitat:

(x - a) * (x - b)

Danke, ja schon klar... hab grad nicht gemerkt, dass a und b die Nullstellen sind verwirrt

verwirrt

Dann ist das Ergebnis des 2. Terms

$\begin{eqnarray*} x+5 \end{eqnarray*}$

Danke fuer die Hilfe... ich komm bestimmt nochmal auf euch zurueck!

Nico

18.09.2007, 20:03

morbias_one

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Ich schreibe hier einfach mal noch eine Aufgabe dazu:

$\begin{eqnarray*} (2x-4)/10(6x-12)^2 \end{eqnarray*}$

Da Benutze ich unten doch die 2. Binomische Formel. Was mache ich mit der 10 vor der Klammer?

Nico

18.09.2007, 20:05

tmo

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ich würde hier keine binomische formel benutzen.

viel mehr würde ich so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} (6x-12)^2 = (6x-12) \cdot (6x-12) = 3 \cdot (2x-4) \cdot (6x-12) \end{eqnarray*}$

18.09.2007, 20:21

morbias_one

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Da hab ich dann als Ergebnis

$\begin{eqnarray*} 1/180(x-2) \end{eqnarray*}$

Danke!!

Nico

19.09.2007, 09:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von morbias_one
$\begin{eqnarray*} 1/180(x-2) \end{eqnarray*}$

Und für Brüche kennt Latex einen schönen Ausdruck, nämlich \frac{a}{b}. Schreibe also

code:
1:	[latex]\frac{1}{180(x-2)}[/latex]

und du bekommst $\begin{eqnarray*} \frac{1}{180(x-2)} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

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