Totales Differential (physik. Chemie)

18.09.2007, 20:22

Milkaschokolade

Totales Differential (physik. Chemie)

Hallo,

folgende Aufgabe stammt aus einer alten Klausur meines Mathe-Profs:

1.) Gegeben: $\begin{eqnarray*} U(T,V) \end{eqnarray*}$
Geben Sie das totale Differential $\begin{eqnarray*} dU \end{eqnarray*}$ an!

(Anmerk.: Uns ist keine Formel für $\begin{eqnarray*} U(T,V) \end{eqnarray*}$ bekannt!)

Das kriege ich sogar noch hin:

$\begin{eqnarray*} dU = \frac{\partial U}{\partial T}dT + \frac{\partial U}{\partial V}dV \end{eqnarray*}$

2.) Mit diesem wird das Differential $\begin{eqnarray*} dS = \frac{dU+pdV}{T} \end{eqnarray*}$ gebildet, wobei $\begin{eqnarray*} p=p(T,V) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S=S(T,V) \end{eqnarray*}$ .

Setzen Sie dU aus 1.) ein und geben Sie jetzt dS an!

So, versteht jemand die Aufgabe 2.) und kann mir erklären was ich da machen muss? Verstehe ja schon die Aufgabenstellung nicht. Ich könnte in der Formel $\begin{eqnarray*} dU \end{eqnarray*}$ jetzt durch $\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial T}dT + \frac{\partial U}{\partial V}dV \end{eqnarray*}$ ersetzen, aber was bringt mir das?

Wenn es euch hilft, hier sind die nächsten Aufgaben:

3.) Nach dem Schwarz'schen Satz formulieren Sie aus $\begin{eqnarray*} dS \end{eqnarray*}$ die Integralitätsbedingung und vereinfachen Sie diese.

4.) Sie erhalten eine wichtige Beziehung der Thermodynamik!
Ergebnis: $\begin{eqnarray*} (\frac{\partial U}{\partial V})_{T} = T(\frac{\partial p}{\partial T})_{V} - p \end{eqnarray*}$

Leiten Sie diese her!

Ich bin doch ziemlich überfordert mit dieser Aufgabe... und für jede Hilfe dankbar.

18.09.2007, 21:19

Tomtomtomtom

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Mit \partial kriegst du ein schönes $\begin{eqnarray*} \partial \end{eqnarray*}$ .

18.09.2007, 21:36

Abakus

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RE: Totales Differential (physik. Chemie)
Mit "_" kannst du tiefstellen, zB: A_{BC} = $\begin{eqnarray*} A_{BC} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Milkaschokolade
2.) Mit diesem wird das Differential $\begin{eqnarray*} dS = \frac{dU+pdV}{T} \end{eqnarray*}$ gebildet, wobei $\begin{eqnarray*} p=p(T,V) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S=S(T,V) \end{eqnarray*}$ .

Setzen Sie dU aus 1.) ein und geben Sie jetzt dS an!

So, versteht jemand die Aufgabe 2.) und kann mir erklären was ich da machen muss? Verstehe ja schon die Aufgabenstellung nicht. Ich könnte in der Formel $\begin{eqnarray*} dU \end{eqnarray*}$ jetzt durch $\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial T}dT + \frac{\partial U}{\partial V}dV \end{eqnarray*}$ ersetzen, aber was bringt mir das?

Setze einfach mal ein und schaue dann (ggf. kannst du es noch "schön" umstellen). Mehr als einsetzen ist hier mE nicht gefordert.

Dann kannst du überlegen, was mit der Integrabilitätsbedingung gemeint sein könnte.

Grüße Abakus smile

18.09.2007, 22:36

Tomtomtomtom

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Also das ist schon länger her, daß ich mich damit beschäftigt habe. Ich glaube der tiefer gestellte Ausdruck bezeichnet nicht eine Ableitung, sondern gibt einfach nochmal an, welches die zweite unabhängige Variable ist. Vielleciht will dein PRof etwas anderes sehen, aber ich würde die gesucht Beziehung am Ende folgendermaßen herleiten.

Du kannst ja auch für S=S(T,V) die Größe dS als totales Differential darstellen, also

$\begin{eqnarray*} dS=\frac{\partial S}{\partial T}dT+\frac{\partial S}{\partial V}dV \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du mit dem anderen Ausdruck, den du für dS hast, einen Koeffizientenvergleich mit den Vorfaktoren von dT und dV durchführen. Dies gibt dir Ausdrücke für $\begin{eqnarray*} \frac{\partial S}{\partial T} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial S}{\partial V} \end{eqnarray*}$ . Wenn dS nun ein vollständiges Differential ist, muß nach Satz von Schwarz die Integrabilitätsbedingung erfüllt sein, daß du die gemischten Ableitungen vertauschen kannst. Das heißt für dich: Leite den ersten Ausdruck nach V ab, den zweiten nach T und setze das ganze gleich. Wenn du nun noch die Integrabilitätsbedingung für U ausnutzt, kommst du auf das gewünschte Ergebnis.

Versuchs mal!

19.09.2007, 21:35

Milkaschokolade

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RE: Totales Differential (physik. Chemie)

Zitat:

Original von Abakus
Mit "_" kannst du tiefstellen, zB: A_{BC} = $\begin{eqnarray*} A_{BC} \end{eqnarray*}$ .

Danke!

Zitat:

Original von Abakus

Setze einfach mal ein und schaue dann (ggf. kannst du es noch "schön" umstellen). Mehr als einsetzen ist hier mE nicht gefordert.

Dann kannst du überlegen, was mit der Integrabilitätsbedingung gemeint sein könnte.

Wonach könnte ich das denn sinnvoll umstellen? Ich weiß gar nicht worauf mein Prof hinauswill :-(. Ja und die Integralitätsbedingung... Was ist denn das? Also ich verbinde mit dem Satz von Schwarz nur, dass die gemischten Ableitungen gleich sind....

Zitat:

Original von Tomtomtomtom Jetzt kannst du mit dem anderen Ausdruck, den du für dS hast, einen Koeffizientenvergleich mit den Vorfaktoren von dT und dV durchführen.

Ähm ja... Also, ich hab jetzt das totale Differential dU und das totale Differential dS in die gegebene Gleichung eingesetzt und erhalte folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial S}{\partial T}dT + \frac{\partial S}{\partial V}dV = \frac{\frac{\partial U}{\partial T}dT + \frac{\partial U}{\partial V}dV + pdV}{T} \end{eqnarray*}$

Meintest du das? Und jetzt soll ich das so umstellen, dass da $\begin{eqnarray*} dV(...) = dT(...) \end{eqnarray*}$ steht? Ich verstehe das mit dem Koeffizientenvergleich nicht :-(. Wie komme ich dann auf Ausdrücke für $\begin{eqnarray*} \frac{\partial S}{\partial T} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial S}{\partial V} \end{eqnarray*}$ ?? Das sind ja die partiellen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} S=S(T,V) \end{eqnarray*}$ ... Und die haben dann wieder was mit dem Satz von Schwarz zu tun. Also müssten die doch gleich sein, oder?

Freue mich auf erneute Antworten.

19.09.2007, 21:52

Tomtomtomtom

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RE: Totales Differential (physik. Chemie)

Zitat:

Ja, das meinte ich.

Zitat:

Und jetzt soll ich das so umstellen, dass da $\begin{eqnarray*} dV(...) = dT(...) \end{eqnarray*}$ steht?

Ich verstehe das mit dem Koeffizientenvergleich nicht :-(. Wie komme ich dann auf Ausdrücke für $\begin{eqnarray*} \frac{\partial S}{\partial T} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial S}{\partial V} \end{eqnarray*}$ .

Nein. Die Teile, die auf beiden Seiten vor dem dT stehen müssen gleich sein, und die Teile, die vor dem dV stehen müssen gleich sein. Das meine ich mit Koeffizientenvergleich, und das sind dann die Ausdrücke für $\begin{eqnarray*} \frac{\partial S}{\partial T} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial S}{\partial V} \end{eqnarray*}$ .

Stell dir das mal so vor (das ist aber nur Anschauung ist, nicht exakt!): dx ist ja im Prinzip eine "kleine" Verschiebung in der x-Koordinate. Das heißt für beliebige "kleine" Verschiebung der T-Koordinate und Verschiebung der V-Koordinate sind die beiden Seiten gleich. Das geht nur, wenn die Koeffizienten für vor dem dT bzw. dV auf beiden Seiten gleich sind.

Zitat:

Das sind ja die partiellen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} S=S(T,V) \end{eqnarray*}$ ... Und die haben dann wieder was mit dem Satz von Schwarz zu tun. Also müssten die doch gleich sein, oder?

Nein, der Satz von Schwarz/die Integrabilitätsbedingung macht (unter anderem) eine Aussage über die gemischten zweiten partiellen Ableitungen von S(T,V). Du hast hier erstmal nur die ersten. Das heißt als nächstes Ziel steht auf der Tagesordnung: geeignete Ableitungen bilden, um den Satz anwenden zu können.

Zitat:

Freue mich auf erneute Antworten.

Kein Problem, ich möcht nur nicht einfach alles hinschreiben, weil ich hoffe, das so der Lerneffekt etwas höher ist.

20.09.2007, 16:14

Milkaschokolade

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RE: Totales Differential (physik. Chemie)
So langsam komme ich weiter :-). Habe jetzt mit dem Koeffizientenvergleich folgendes $\begin{eqnarray*} dS \end{eqnarray*}$ erhalten:

Koeffizientenvergleich:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial S}{\partial T} = \frac{\partial U}{\partial T}T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial S}{\partial V} = \frac{\partial U}{\partial V}T + pT = T(\frac{\partial U}{\partial V}+p) \end{eqnarray*}$

Dann kann ich jetzt $\begin{eqnarray*} dS \end{eqnarray*}$ wie folgt angeben:

$\begin{eqnarray*} dS = \frac{\partial S}{\partial T}dT + \frac{\partial S}{\partial V}dV \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow dS = \frac{\partial U}{\partial T}TdT + (\frac{\partial U}{\partial V}+p)TdV \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow dS = T(\frac{\partial U}{\partial T}dT + (\frac{\partial U}{\partial V}+p)dV) \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Dann jetzt zu den zweiten Ableitungen/SvS (Aufg. 3):

Ich hab ja jetzt bei meinem Koeffizientenvergleich stehen, wie ich die ersten partiellen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} S(T,V) \end{eqnarray*}$ darstellen kann.
Den Ausdruck für die erste partielle Ableitung von S nach T müsste ich doch dann jetzt nach V ableiten und die erste partielle Ableitung von S nach V müsste ich nach T ableiten, oder?

20.09.2007, 21:44

Tomtomtomtom

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Das ist alles richtig, aber du hast dich verrechnet. Das T steht unter einem Bruchstrich. Wenn du das beachtest kommt auhc bei deiner Rechnung für das dS exakt wieder das raus, was du eh schon wußtest, der Teil ist also unnötig.

21.09.2007, 10:43

Milkaschokolade

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Ja, ich hab es eben selbst bemerkt. Werde das heute im Laufe des Tages hier noch richtig stellen.

Danke!

22.09.2007, 00:16

Milkaschokolade

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RE: Totales Differential (physik. Chemie)
So ist es jetzt richtig:

Koeffizientenvergleich:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial S}{\partial T} = \frac{\partial U}{\partial T}\frac{1}{T} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial S}{\partial V} = \frac{\partial U}{\partial V}\frac{1}{T} + \frac{p}{T} = \frac{1}{T}(\frac{\partial U}{\partial V}+p) \end{eqnarray*}$

Dann kann ich jetzt $\begin{eqnarray*} dS \end{eqnarray*}$ wie folgt angeben:

$\begin{eqnarray*} dS = \frac{\partial S}{\partial T}dT + \frac{\partial S}{\partial V}dV \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow dS = \frac{\partial U}{\partial T}\frac{1}{T}dT + (\frac{\partial U}{\partial V}+p)\frac{1}{T}dV \end{eqnarray*}$

Zur weiteren Aufgabenlösung leitet man den Ausdruck vor dem dT nach V ab und den Ausdruck vor dem dV nach T.
Nach dem Satz von Schwarz müssen diese gleich sein, da es die gemischten Ableitungen zweiter Ordnung von S sind.

Also setzt man diese zweiten gemischten Ableitungen gleich, stellt die Formel um und erhält das geünschte Ergebnis (s. 4.).

Danke nochmal für eure Hilfe! Nachdem ich mich jetzt länger mit der Aufgabe beschäftigt habe, frage ich mich wer das in der Klausur damals hinbekommen hat :-(. Sind solche Aufgaben für ein FH-Chemie-Studium angemessen? Jetzt im Nachhinein ist es echt einfach nachzuvollziehen, aber wenn man so eine Aufgabe in der Klausur lösen muss und vorher nur "normale, einfache" Funktionen abgeleitet hat (in den Übungen, Vorlesungen)...

22.09.2007, 03:00

Tomtomtomtom

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Das kann dir keiner sagen, weil es ganz drauf an kommt, was in der Vorlesung in welchem Stil nach welcher Vorlage gemacht wurde, ob es Übungen und Übungsaufgaben gab, ob eventuell ein ganz ähnliches Beispiel ausführlich diskutiert wurde usw.

Es kann von einer leichten Einstiegsaufgabe bis total unangemessen echt alles sein.

22.09.2007, 11:04

Milkaschokolade

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Ja, das stimmt wohl...

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