HNF Hessesche Normalenform umformen

19.09.2007, 12:20

raphi488

HNF Hessesche Normalenform umformen

Hallo,
habe folgende Frage. Es dreht sich um den Abstand eines Punktes von einer Ebene.

wie kommt man von:

$\begin{eqnarray*} d= \mid (\vec{r} - \vec{p})\cdot \vec{n0}\mid \end{eqnarray*}$ (r ist der Ortsvektors des Punktes R, der nicht auf der Ebene liegt; p ist der Vektor des Puntkes P, der auf der Ebene liegt.)

zu

$\begin{eqnarray*} d= \mid \frac{a1r1 + a2r2 + a3r3 - b}{\sqrt{a1² + a2² + a3²} }\mid \end{eqnarray*}$ (a1,a2,a3 sind die Koordinaten des Normalenvektors. r1,r2,r3 sind die Koordinaten des Punktes R, der nicht auf der Ebene liegt.

19.09.2007, 12:57

klarsoweit

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RE: HNF Hessesche Normalenform umformen
Also eigentlich ist das doch nur das ausgerechnete Skalarprodukt, wobei der Wurzelausdruck überflüssig ist, da die Länge des Normalenvektors immer 1 ist.

19.09.2007, 13:02

riwe

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RE: HNF Hessesche Normalenform umformen

Zitat:

Original von klarsoweit
Also eigentlich ist das doch nur das ausgerechnete Skalarprodukt, wobei der Wurzelausdruck überflüssig ist, da die Länge des Normalenvektors immer 1 ist.

das ist so nicht ganz korrekt.
die länge des normalenEINHEITSvektors ist 1,
daher ist die normierung - der wurzelausdruck - richtig und notwendig

19.09.2007, 13:07

WebFritzi

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@raphi: $\begin{eqnarray*} (\vec{r} - \vec{p})\cdot \vec{n_0} = \vec{r}\cdot \vec{n_0} - \vec{p}\cdot \vec{n_0}. \end{eqnarray*}$

19.09.2007, 13:19

klarsoweit

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RE: HNF Hessesche Normalenform umformen

Zitat:

Original von riwe
die länge des normalenEINHEITSvektors ist 1,
daher ist die normierung - der wurzelausdruck - richtig und notwendig

OK. Das hatte ich irgendwie vermischt.

Dann ist aber der Vektor n_0 der Normaleneinheitsvektor und es gilt

$\begin{eqnarray*} \vec{n_0} = \frac{1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}} \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.09.2007, 16:54

raphi488

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sorry, aber ich blick bei euch net ganz durch.

Könnt ihr mir denn net bitte einfach schritt für schritt zeigen, wie ich die formel umform? Wär voll nett!

19.09.2007, 17:28

Leopold

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Um das noch einmal zusammenzufassen:

Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Normalenvektor ist, dann lautet die Formel

$\begin{eqnarray*} d = \frac{\left| \vec{n} \cdot \left( \vec{r} - \vec{p} \right) \right|}{\left| \vec{n} \right|} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man den Normalenvektor normieren, d.h. auf Länge 1 zurechtstutzen. So entsteht ein Normaleneinheitsvektor:

$\begin{eqnarray*} \vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{\left| \vec{n} \right|} \end{eqnarray*}$

Dann lautet die Formel in der Tat

$\begin{eqnarray*} d = \left| \vec{n}_0 \cdot \left( \vec{r} - \vec{p} \right) \right| \end{eqnarray*}$

Äußerlich sieht das einfacher aus, und für Beweise sind die Rechnungen eine Spur handlicher, weil man immer $\begin{eqnarray*} \vec{n}_0^{\ 2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \left| \vec{n}_0 \right| \end{eqnarray*}$ durch 1 ersetzen kann. Fürs praktische Rechnen ergibt sich jedoch kein Unterschied.

Hier ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} E: \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \left( \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Welchen Abstand hat der Punkt $\begin{eqnarray*} P(100|200|300) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} d = \frac{\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix} 100 \\ 200 \\ 300 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right) \right|}{\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right|} = \frac{\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 96 \\ 195 \\ 294 \end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{\left| 1 \cdot 96 + 2 \cdot 195 + 3 \cdot 294 \right|}{\sqrt{14}} = \frac{1368}{\sqrt{14}} \end{eqnarray*}$

Man kann für die Ebene jedoch auch den Normaleneinheitsvektor nehmen:

$\begin{eqnarray*} \vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{\left| \vec{n} \right|} = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{14}} \\ \frac{2}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{14}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (die Länge ist 1 - rechne das nach!)

Die Ebenengleichung lautet dann:

$\begin{eqnarray*} E: \ \ \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{14}} \\ \frac{2}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{14}} \end{pmatrix} \cdot \left( \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Und für den Abstand des Punktes $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ erhält man

$\begin{eqnarray*} d = \left| \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{14}} \\ \frac{2}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{14}} \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix} 100 \\ 200 \\ 300 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right) \right| = \ldots = \frac{1368}{\sqrt{14}} \end{eqnarray*}$

Fürs praktische Rechnen ergibt sich also keine Vereinfachung, die Wurzel ist eben beim Normaleneinheitsvektor schon in ihn hineinverwoben.

19.09.2007, 18:13

raphi488

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danke, für die mühe Wink

, habs endlich geblickt smile

19.09.2007, 18:42

WebFritzi

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RE: HNF Hessesche Normalenform umformen

Zitat:

Original von raphi488
wie kommt man von:

$\begin{eqnarray*} d= \mid (\vec{r} - \vec{p})\cdot \vec{n0}\mid \end{eqnarray*}$ (r ist der Ortsvektors des Punktes R, der nicht auf der Ebene liegt; p ist der Vektor des Puntkes P, der auf der Ebene liegt.)

zu

$\begin{eqnarray*} d= \mid \frac{a1r1 + a2r2 + a3r3 - b}{\sqrt{a1² + a2² + a3²} }\mid \end{eqnarray*}$

Wenn du es geblickt hast, kannst du sicher auch beschreiben, wie man vom ersten zum zweiten kommt, oder?

19.09.2007, 19:16

raphi488

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na klar kann ich's jetzt beschreiben. Habs mir halt in zwischenschritten aufgeschrieben, muss es ja der klasse erklären

19.09.2007, 20:31

WebFritzi

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Dann wäre es schön, wenn du das hier reinschreiben würdest. Für Leute, die später mal auf diesen Thread stoßen. Das ist hier so üblich.

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