Wahrscheinlichkeitsräume?

12.03.2005, 18:29

papahuhn

Wahrscheinlichkeitsräume?

Hallo,
ich versuche einen Beweis nachzuvollziehen, der Wahrscheinlichkeiten abschätzt.
Gegeben (im Prinzip):
Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Abschätzung: $\begin{eqnarray*} Pr[\exists n : f(n) = 42]\ \leq\ \sum_{n \in N} (Pr[f(n) = 42]) \end{eqnarray*}$ .
Prosa: Die Wahrscheinlichkeit, dass es eine natürliche Zahl n gibt mit f(n) = 42, ist kleinergleich der Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten, dass ein bestimmtes f(n) = 42 ist. Pr[E] ist hierbei als Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu sehen.
Diese Ungleichung kommt als Teil einer längeren Ungleichungskette vor, in der "=" benutzt wird, wenn es geht. Da hier "<=" steht, gehe ich davon aus, dass dies bewusst so gewählt wurde, und ein "=" falsch wäre. Ich wüsste gerne, warum zwischen den Wahrscheinlichkeiten keine echte Gleichheit besteht, da das für mich so aussieht. Es muss sich um irgendeinen Satz zu Wahrscheinlichkeitsräumen handeln. Wäre nett, wenn mir den jemand verraten könnte.

Danke.

12.03.2005, 18:56

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Anscheinend betrachtest du zufällige Funktionen, d.h., dein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus Funktionen:

$\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{f:\; \mathbb{N}\to\mathbb{R} \right\} \end{eqnarray*}$

Und wenn du jetzt die Ereignisse

$\begin{eqnarray*} A_n = \left\{f\in\Omega:\; f(n)=42 \right\}\subseteq\Omega \end{eqnarray*}$

betrachtest, dann steht bei deiner "Behauptung" nichts weiter als

$\begin{eqnarray*} Pr\left(\bigcup\limits_{n=0}^{\infty} A_n\right)\leq \sum\limits_{n=0}^{\infty} Pr\left( A_n\right) \end{eqnarray*}$

Das solltest du kennen. smile

12.03.2005, 19:25

papahuhn

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Das sieht doch schon sehr vielversprechend aus smile

> Das solltest du kennen.

Leider hab ich keine Ahnung von Wahrscheinlichkeitsräumen. Ich hab zu dem Thema in meinem "Taschenbuch für Mathematik" von Bronstein & Co. gekramt und nichts gefunden. Kannst du mir sagen, wonach ich im Netz suchen sollte, um diese Formel wiederzufinden?

Danköö...

12.03.2005, 19:37

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Das ist eine geradezu elementare Eigenschaft der Wahtrscheinlichkeit: Für disjunkte $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ gilt Gleichheit - das ist eines der Kolmogorov-Axiome der Wahrscheinlichkeit. Oder auch eine Maßeigenschaft, wenn man sich von der Seite der Wahrscheinlichkeitsrechnung nähert. Und für i.a. nicht disjunkte $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ kann man nun

$\begin{eqnarray*} B_0:=A_0,\qquad B_n := A_n\setminus\left(\bigcup\limits_{k=0}^{n-1} A_k\right) \end{eqnarray*}$

definieren. Dann sind $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ nach Konstruktion disjunkt, es gilt $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{n=0}^{\infty} A_n=\bigcup\limits_{n=0}^{\infty} B_n \end{eqnarray*}$ und folglich dann

$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcup\limits_{n=0}^{\infty} A_n\right)=P\left(\bigcup\limits_{n=0}^{\infty} B_n\right)\stackrel{!}{=}\sum\limits_{n=0}^{\infty} P(B_n)\leq\sum\limits_{n=0}^{\infty} P(A_n) \end{eqnarray*}$ ,

letzere Abschätzung resultiert aus $\begin{eqnarray*} P(B_n)\leq P(A_n) \end{eqnarray*}$ , und das gilt natürlich wegen $\begin{eqnarray*} B_n\subseteq A_n \end{eqnarray*}$ .

12.03.2005, 20:58

papahuhn

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Gilt die Gleichheit für vollständig oder paarweise disjunkte $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ ?
Ich habe Probleme selbst die paarweise Disjunktion deiner konstruierten $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ nachzuvollziehen.
Das ganze habe ich auch für $\begin{eqnarray*} B_n := A_n\ \setminus \ \bigcup\limits_{k=0}^{n-1} B_k \end{eqnarray*}$ probiert - falls dir ein Tippfehler unterlaufen sein sollte - aber auch hier habe ich keine Disjunktion nachweisen können.

Gruß

12.03.2005, 21:25

JochenX

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nein, arthrus schreibweise war nicht falsch.... das kannst du dir an einem bild klar machen....

du hast zunächst mit ereignismengen A_0, A_1,... die nicht (notwendigerweise) disjunkt sind...
nun ist B_i immer A_i ohne alles, was bereits in einem der vorherigen A_i (und somit aber auch B_i) schon drin ist....

am ende sind die B_i somit disjunkt.
klar?

12.03.2005, 21:34

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Zitat:

Original von papahuhn
Das ganze habe ich auch für $\begin{eqnarray*} B_n := A_n\ \setminus \ \bigcup\limits_{k=0}^{n-1} B_k \end{eqnarray*}$ probiert - falls dir ein Tippfehler unterlaufen sein sollte

Kein Tippfehler - aber diese Definition ist identisch zu meiner, da man

$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{k=0}^n B_k=\bigcup\limits_{k=0}^n A_k \end{eqnarray*}$

für alle n durch Induktion nachweisen kann.

Zur paarweisen Disjunktheit: Für j<m gilt wegen $\begin{eqnarray*} B_j\subseteq A_j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_j\cap B_m\subseteq A_j\cap\left(A_m\setminus\left(\bigcup\limits_{k=0}^{m-1} A_k\right)\right)\subseteq A_j\cap\left(A_m\setminus A_j\right)=\emptyset \end{eqnarray*}$ ,

das war's.

12.03.2005, 22:02

papahuhn

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Zitat:

Original von LOED
du hast zunächst mit ereignismengen A_0, A_1,... die nicht (notwendigerweise) disjunkt sind...
nun ist B_i immer A_i ohne alles, was bereits in einem der vorherigen A_i (und somit aber auch B_i) schon drin ist....

Ja, so bin ich das auch angegangen. Allerdings ist das nur eine Richtung der Aussage: $\begin{eqnarray*} x \in B_{i+k} \Leftrightarrow x \notin B_i \end{eqnarray*}$ , und zwar die von links nach rechts. Für die andere Richtung sind mir die Ideen ausgegangen.

Arthur Dent's Illustration der Disjunktheit hat mich allerdings überzeugt. Paarweise reicht also, ja?

12.03.2005, 22:05

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Zitat:

Original von papahuhn
Paarweise reicht also, ja?

Wovon sprichst du mit "reicht" ? Paarweise disjunkt ist die schärfere Forderung: Aus paarweiser Disjunktheit folgt Disjunktheit, nicht umgekehrt!!!

12.03.2005, 22:06

JochenX

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ich bin etwas verwirrt... was ist denn der unterschied zwischen paarweiser und vollständiger disjunktheit deineserachtens?
ich muss sagen, den ausdruck "vollst. disjunktheit" auch so nicht zu verwenden, verstehe ich ihn vielleicht falsch?

edit: oh, arthurs antwort versteh ich nicht ganz

12.03.2005, 22:09

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Naja, ich habe einfach angenommen, dass papahuhn mit Disjunktheit

$\begin{eqnarray*} B_1\cap\ldots\cap B_n=\emptyset \end{eqnarray*}$

meint, und das ist ja schwächer als paarweise Disjunktheit.

12.03.2005, 22:11

papahuhn

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Heute ist nicht mein Tag:
1. Ich stelle gerade fest, dass eine Äquivalenz, wie ich sie vorhin geschrieben habe, vollkommen unnötig ist. Somit hatte ich die Lösung der paarweisen Disjunkteit ohne es zu wissen
2. Ich habe "paarweise/vollständig disjunkt" mit "paarweise/vollständig unabhängig" (bei Ereignissen) verwechselt. Also ist jetzt alles in Ordnung, denke ich.

Danke für eure Hilfe!

12.03.2005, 22:13

JochenX

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ja, du könntest recht haben.....
auch wenn ich das in bezug auf mehrere mengen so nicht kenne (bei uns ist dann immer alles gleich paarweise disjunkt, wie es sich gehört!).
dann ist natürlich diese "vollständige disjunktheit" eindeutig viel schwächer als die paarweise...... die ist ja für sehr viele mengen fast ohne aussage, da ja ein paar disjunkter teilmengen reicht, um für ganze "vollst. disjunktheit" zu sorgen.... und auch ohne ein einziges par disjunkter teilmengen, vollst. disjunktheit erreicht werden könnte.....

danke Augenzwinkern

12.03.2005, 22:26

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Zitat:

Original von LOED
bei uns ist dann immer alles gleich paarweise disjunkt, wie es sich gehört!

Sehe ich ja auch so, aber es muss ja einen Grund haben, warum man oft die umständlichere Formulierung "paarweise disjunkt" wählt - weil eben leider auch die laschere Bedeutung von Disjunktheit noch eine gewisse Verbreitung hat.

12.03.2005, 22:50

papahuhn

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Nein, das meinte ich nicht. Für mich ist "disjunkt" eine Beziehung zwischen genau zwei Mengen. Leider hatte ich noch das Bild der vollständigen Unabhängigkeit einer Menge von Ereignismengen vor meinem inneren Auge. Die hat man, wenn für den Schnitt aller möglichen Teilmengen etwas bestimmtes gegeben ist. Vollständige Unabhängigkeit war eine stärkere Bedingung als paarweise, deshalb habe ich so blöd gefragt.

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