Textaufgabe zu Ableitungen von Verkettungen

19.09.2007, 19:52	andreboleole	Auf diesen Beitrag antworten »
Textaufgabe zu Ableitungen von Verkettungen Hallo, wir haben heute eine Hausaufgabe aufbekommen, die wir nächste Woche abgeben müssen. Ich habe bereits eine Lösung für die Aufgabe, bin mir aber nicht sicher, ob sie richtig ist. Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr meine Lösung mal überprüft. Aufgabe: In einem kegelförmigen Behälter (auf dem kopfstehender Kreiskegel) mit dem Radius r=10cm und der Höhe h=30cm werden pro Sekunde 20cm³ Wasser gefüllt. Die Höhe des Wasserspiegels und das Volumen des Wassers im Behälter hängen also von der Zeit t ab. a) Ermitteln Sie die Zuordnung h(t) \|-> V(t). b) Während des Füllvorgangs steigt der Wasserspiegel unterschiedlich schnell. Wie schnell steigt dieser im Augenblick, in dem das Wasser im Behälter 5cm hoch steht? Lösung: a)Formel für Kreiskegel: $\begin{eqnarray} v=\frac {1} {3}\pi r²h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V(t)=20\frac{cm³}{s} t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h(t)=\frac{3V}{\pi r²} \end{eqnarray}$ Einsetzen: $\begin{eqnarray} h(t)=\frac{60\frac{cm³}{s} * t }{\pi r²} \end{eqnarray}$ Verhältniss r² zu h(t): $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} h = r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{9} h² = r² \end{eqnarray}$ r² in h(t) einsetzen: $\begin{eqnarray} h(t)= \sqrt[3]{ \frac{540 \frac{cm³}{s} t}{\pi} } \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} 5cm= \sqrt[3]{ \frac{540 \frac{cm³}{s} t}{\pi} }<br /> t=\frac{\pi}{36}s=0,09s \end{eqnarray}$ h(t) ableiten: $\begin{eqnarray} h'(t)=\frac{180\frac{cm³}{s} }{\pi} (\frac{540\frac{cm³}{s} t}{\pi} )^{-\frac{2}{3} } \end{eqnarray}$ t in h(t) einsetzen: $\begin{eqnarray} h'(t)=9,42\frac{cm}{s}=v \end{eqnarray}$ (Geschw. bei 5cm) Hoffe ihr blickt da einigermaßen durch und es ist soweit einigermaßen richtig, vielen Dank schonmal für euere Hilfe!!! MfG André
19.09.2007, 21:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau mal in den Thread Kegelaufgabe von Klaudia Suchen macht happy! mY+

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