3 6-Seitige Würfel... Wahrsch. f. mind. 2 1sen...

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Die Eule Auf diesen Beitrag antworten »
3 6-Seitige Würfel... Wahrsch. f. mind. 2 1sen...
sooo.
Hallo liebe Mathe Fans...
Es gibt da so ein tolles Spiel das nennt sich Warhammer und bei dem muss man mit lauter 6-Seitigen Würfeln würfeln.

In Punkto Magie hat man einen "Zauberpatzer" wenn man egal wieviel Würfel 2 1sen hat...

Jetzt ging es uns um die Frage ob es sinnvoll (nicht sooo viel mehr riskant) ist 3 Würfel für ein möglichst hohes ergebnis zu nehemn ohne zauberpatzer zu erleiden...

Jetzt sind wir aber mit 2 verschiedenen meinungen aufeinandergeprallt und kommen nicht weiter...

Gleich vorneweg... In Warhammer nimmt man z.B. einfach 10 schwarze identische Würfel und wirft einfach alle zusammen. Das ist für mich zumindest ohne Beachtung der Reihenfolge!

Was glaub ich auch der Knackpunkt ist, was mein Freund nicht verstehen will...

ich zitiere mal unsere beiden Argumentationen...

Zitat:
Original von mir selbst
Es geht um die Frage, wie groß die wahrscheinlichkeit auf einen Zauberpatzer ist, wenn man 3W6 verwendet.

Zählen wir einmal alle Zahlenkombinationen auf die wir mit 3 W6 würfeln können
das jetzt ist mit! beachtung der reihenfolge (z.b. mit verschiedenfarbiger würfel (weiss/rot/schwarz))

1/1/1 ; 1/1/2 ; 1/1/3 ; 1/1/4 ; 1/1/5 ; 1/1/6
1/2/1 ; 1/2/2 ; 1/2/3 ; 1/2/4 ; 1/2/5 ; 1/2/6
1/3/1 ; 1/3/2 ; 1/3/3 ; 1/3/4 ; 1/3/5 ; 1/3/6
1/4/1 ; 1/4/2 ; 1/4/3 ; 1/4/4 ; 1/4/5 ; 1/4/6
1/5/1 ; 1/5/2 ; 1/5/3 ; 1/5/4 ; 1/5/5 ; 1/5/6
1/6/1 ; 1/6/2 ; 1/6/3 ; 1/6/4 ; 1/6/5 ; 1/6/6
2/1/1 ; 2/1/2 ; 2/1/3 ; 2/1/4 ; 2/1/5 ; 2/1/6
2/2/1 ; 2/2/2 ; 2/2/3 ; 2/2/4 ; 2/2/5 ; 2/2/6
2/3/1 ; 2/3/2 ; 2/3/3 ; 2/3/4 ; 2/3/5 ; 2/3/6
2/4/1 ; 2/4/2 ; 2/4/3 ; 2/4/4 ; 2/4/5 ; 2/4/6
2/5/1 ; 2/5/2 ; 2/5/3 ; 2/5/4 ; 2/5/5 ; 2/5/6
2/6/1 ; 2/6/2 ; 2/6/3 ; 2/6/4 ; 2/6/5 ; 2/6/6
3/1/1 ; 3/1/2 ; 3/1/3 ; 3/1/4 ; 3/1/5 ; 3/1/6
3/2/1 ; 3/2/2 ; 3/2/3 ; 3/2/4 ; 3/2/5 ; 3/2/6
3/3/1 ; 3/3/2 ; 3/3/3 ; 3/3/4 ; 3/3/5 ; 3/3/6
3/4/1 ; 3/4/2 ; 3/4/3 ; 3/4/4 ; 3/4/5 ; 3/4/6
3/5/1 ; 3/5/2 ; 3/5/3 ; 3/5/4 ; 3/5/5 ; 3/5/6
3/6/1 ; 3/6/2 ; 3/6/3 ; 3/6/4 ; 3/6/5 ; 3/6/6
4/1/1 ; 4/1/2 ; 4/1/3 ; 4/1/4 ; 4/1/5 ; 4/1/6
4/2/1 ; 4/2/2 ; 4/2/3 ; 4/2/4 ; 4/2/5 ; 4/2/6
4/3/1 ; 4/3/2 ; 4/3/3 ; 4/3/4 ; 4/3/5 ; 4/3/6
4/4/1 ; 4/4/2 ; 4/4/3 ; 4/4/4 ; 4/4/5 ; 4/4/6
4/5/1 ; 4/5/2 ; 4/5/3 ; 4/5/4 ; 4/5/5 ; 4/5/6
4/6/1 ; 4/6/2 ; 4/6/3 ; 4/6/4 ; 4/6/5 ; 4/6/6
5/1/1 ; 5/1/2 ; 5/1/3 ; 5/1/4 ; 5/1/5 ; 5/1/6
5/2/1 ; 5/2/2 ; 5/2/3 ; 5/2/4 ; 5/2/5 ; 5/2/6
5/3/1 ; 5/3/2 ; 5/3/3 ; 5/3/4 ; 5/3/5 ; 5/3/6
5/4/1 ; 5/4/2 ; 5/4/3 ; 5/4/4 ; 5/4/5 ; 5/4/6
5/5/1 ; 5/5/2 ; 5/5/3 ; 5/5/4 ; 5/5/5 ; 5/5/6
5/6/1 ; 5/6/2 ; 5/6/3 ; 5/6/4 ; 5/6/5 ; 5/6/6
6/1/1 ; 6/1/2 ; 6/1/3 ; 6/1/4 ; 6/1/5 ; 6/1/6
6/2/1 ; 6/2/2 ; 6/2/3 ; 6/2/4 ; 6/2/5 ; 6/2/6
6/3/1 ; 6/3/2 ; 6/3/3 ; 6/3/4 ; 6/3/5 ; 6/3/6
6/4/1 ; 6/4/2 ; 6/4/3 ; 6/4/4 ; 6/4/5 ; 6/4/6
6/5/1 ; 6/5/2 ; 6/5/3 ; 6/5/4 ; 6/5/5 ; 6/5/6
6/6/1 ; 6/6/2 ; 6/6/3 ; 6/6/4 ; 6/6/5 ; 6/6/6
--------------------------------------------------------
= 6³ Möglichkeiten = 216

Jetzt ist es aber für unser aktuelles problem völlig gal welche Reihenfolge, da wir z.b. 3 schwarze Würfel benutzen und diese somit nicht mehr unterscheidbar sind...
Also sind folgende Kombinationen dasselbe und somit in eine Kombination zusammenzuafssen!

- 1/1/2 ; 1/2/1 ; 2/1/1
- 1/1/3 ; 1/3/1 ; 3/1/1
- 1/1/4 ; 1/4/1 ; 4/1/1
- 1/1/5 ; 1/5/1 ; 5/1/1
- 1/1/6 ; 1/6/1 ; 6/1/1
- 1/2/2 ; 2/1/2 ; 2/2/1
- 1/2/3 ; 1/3/2 ; 3/2/1 ; 3/1/2 ; 2/1/3 ; 2/3/1
- 1/2/4 ; 1/4/2 ; 4/2/1 ; 4/1/2 ; 2/1/4 ; 2/4/1
- 1/2/5 ; 1/5/2 ; 5/2/1 ; 5/1/2 ; 2/1/5 ; 2/5/1
- 1/2/6 ; 1/6/2 ; 6/2/1 ; 6/1/2 ; 2/1/6 ; 2/6/1
- 1/3/3 ; 3/1/3 ; 3/3/1
- 1/3/4 ; 1/4/3 ; 3/1/4 ; 3/4/1 ; 4/1/3 ; 4/3/1
- 1/3/5 ; 1/5/3 ; 3/1/5 ; 3/5/1 ; 5/1/3 ; 5/3/1
- 1/3/6 ; 1/6/3 ; 3/1/6 ; 3/6/1 ; 6/1/3 ; 6/3/1
- 1/4/4 ; 4/1/4 ; 4/4/1
- 1/4/5 ; 1/5/4 ; 5/4/1 ; 5/1/4 ; 4/1/5 ; 4/5/1
- 1/4/6 ; 1/6/4 ; 6/4/1 ; 6/1/4 ; 4/1/6 ; 4/6/1
- 1/5/5 ; 5/1/5 ; 5/5/1
- 1/5/6 ; 1/6/5 ; 6/1/5 ; 6/5/1 ; 5/1/6 ; 5/6/1
- 1/6/6 ; 6/1/6 ; 6/6/1
- 2/2/3 ; 2/3/2 ; 3/2/2
- 2/2/4 ; 2/4/2 ; 4/2/2
- 2/2/5 ; 2/5/2 ; 5/2/2
- 2/2/6 ; 2/6/2 ; 6/2/2
- 2/3/3 ; 3/2/3 ; 3/3/2
- 2/3/4 ; 2/4/3 ; 4/3/2 ; 4/2/3 ; 3/4/2 ; 3/2/4
- 2/3/5 ; 2/5/3 ; 3/2/5 ; 3/5/2 ; 5/2/3 ; 5/3/2
- 2/3/6 ; 2/6/3 ; 3/6/2 ; 3/2/6 ; 6/3/2 ; 6/2/3
- 2/4/4 ; 4/2/4 ; 4/4/2
- 2/4/5 ; 2/5/4 ; 4/5/2 ; 4/2/5 ; 5/4/2 ; 5/2/4
- 2/4/6 ; 2/6/4 ; 4/6/2 ; 4/2/6 ; 6/4/2 ; 6/2/4
- 2/5/5 ; 5/2/5 ; 5/5/2
- 2/5/6 ; 2/6/5 ; 5/6/2 ; 5/2/6 ; 6/2/5 ; 6/5/2
- 2/6/6 ; 6/2/6 ; 6/6/2
- 3/3/4 ; 3/4/3 ; 4/3/3
- 3/3/5 ; 3/5/3 ; 5/3/3
- 3/3/6 ; 3/6/3 ; 6/3/3
- 3/4/4 ; 4/3/4 ; 4/4/3
- 3/4/5 ; 3/5/4 ; 4/5/3 ; 4/3/5 ; 5/3/4 ; 5/4/3
- 3/4/6 ; 3/6/4 ; 4/3/6 ; 4/6/3 ; 6/3/4 ; 6/4/3
- 3/5/5 ; 5/5/3 ; 5/3/5
- 3/5/6 ; 3/6/5 ; 5/3/6 ; 5/6/3 ; 6/3/5 ; 6/5/3
- 3/6/6 ; 6/3/6 ; 6/6/3
- 4/5/4 ; 4/4/5 ; 5/4/4
- 4/5/5 ; 5/4/5 ; 5/5/4
- 4/5/6 ; 4/6/5 ; 5/4/6 ; 5/6/4 ; 6/4/5 ; 6/5/4
- 4/6/4 ; 4/4/6 ; 6/4/4
- 4/6/6 ; 6/4/6 ; 6/6/4
- 5/5/6 ; 5/6/5 ; 6/5/5
- 5/6/6 ; 6/5/6 ; 6/6/5
-----------------------------
macht also 160 doppelte...

216-160= 56 Möglichkeiten ohne Doppelungen, also 56 Möglichkeiten wenn man die Reihenfolge nicht beachtet.

sooo
der nenner ist also 56tel

Was steht im Zähler? Was sind denn passende Ergebnisse zum Ereignis "Es kommt ein Zauberpatzer, also mindestens 2 einsen"?

Wir können also würfeln dazu...
- 1/1/1
- 1/1/2
- 1/1/3
- 1/1/4
- 1/1/5
- 1/1/6
-----------
macht also 6 Möglichkeiten in denen wir einen Zauberpatzer erleiden...

>> Die Wahrscheinlichkeit eines Zauberpatzers bei 3W6 ist also

6 56tel (oder 6/56)

das kann man noch kürzen auf
3 28tel

was
~0,107143 ergibt
, was ca.

10,7% entspricht!!!!!!


mein Freund argumentiert so...

Zitat:
Original von meinem Freund
Wir haben 3 Würfel. Wir geben ihnen verschiedene Farben, um sie unterscheiden zu können. Wir wählen (fast^^) völlig willkürlich die Farben Weiß, Schwarz und Rot.

Ein Zauberpatzer entsteht bei 2 Einsen. Es werden also für einen Zauberpatzer nur 2 Würfel "benötigt". Die Chance auf einen Zauberpatzer berechnet man:
1/6 * 1/6 = 1/36.

Bei drei Würfeln kann dieses Ereignis auf drei verschiedene Arten entstehen:
Weiß und Schwarz
Weiß und Rot
Schwarz und Rot.

Somit müssen wir obiges Ergebnis *3 rechnen: 3 * 1/36 = 3/36 = 18/216.

Hinzu kommt noch die Möglichkeit, dass alle drei Würfel Eine eins zeigen. Diese berechnet man wie folgt:
(1/6)³ = 1/216.

Das Endresultat lautet nun:
18/216 + 1/216 = 19/216.

Die Chance auf einen Zauberpatzer liegt bei 3W6 also ungefähr bei 8,8%.
Bei 2W6 lag sie nur bei ca. 2,8%.


>> Rein logisch gesehen beachten wir aber nicht die Reihenfolge, selbst wenn wir 3 Farben an würfeln nehmen und diese 3 Farben GLEICHZEITIG!!! werfen und nicht wirklich achten welcher würfel was zeigt...
Zauberpatzer kommen bei 2 Einsen egal ob diese jetzt vom weissen, roten oder schwarzen Würfel kommen...


Wer hat nun also eurer meinung nach recht?! ie gesagt ihr müsst selbst überlegen ob es ohne Beachtung d. Reihenfolge ist wenn man von mir aus einen roten, schwarzen und weissen Würfel würfelt aber nachher egal ist welche die 2 einsen Zeigen und die Reihenfolge auch weiter nicht beachtet wird...!!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr liegt beide falsch: Die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Einsen bei drei Würfen ist



Du hast das falsche Grundmodell, und dein Freund zählt (1,1,1) vierfach statt nur einfach.
 
 
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Lass mich das mal erläutern.
Für mich (weil ich grad nen Hänger hatte)... und den beiden hilfts bestimmt auch:

Mindestens zwei 1er heißt:

genau drei 1er + genau zwei 1er


genau drei 1er:


genau zwei 1er:

einmal keinen 1er (also alles andere):

die anderen beiden male jeweils einen 1er:

Permutationen: und jetzt hat man Möglichkeiten die zwei 1er-Würfe und den nicht-1er-Wurf auf die Würfel anzuordnen.

So ist das sicher gemeint oder?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, genauso. Freude

Und wenn ich sage, dass das Modell von "Die Eule" falsch ist, dann meine ich folgendes:

Tatsächlich gibt es genau verschiedene Wurfergebnisse, wenn man die Reihenfolge der Würfe nicht beachtet - soweit richtig. Falsch ist nun aber die Annahme, dass jedes dieser 56 Ergebnisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit beim Würfeln mit drei Würfeln auftritt - mit anderen Worten, dass dies die 56 Elementarereignisse eines Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraumes sind. Das sind sie eben nicht, denn (1,2,3) tritt sechsmal so oft auf wie (1,1,1); (1,1,2) immerhin noch dreimal so oft wie (1,1,1).

Wir hatten auch hier im Board schon mehrere Threads, wo dieser bekannte und häufig anzutreffende Irrtum näher beleuchtet wird, aber ich bin jetzt zu faul zum Suchen. Augenzwinkern
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo... - bin gerade über diesen Thread gestolpert und bräuchte eure Hilfe.
Zitat:
Original von Arthur Dent
denn (1,2,3) tritt sechsmal so oft auf wie (1,1,1); (1,1,2) immerhin noch dreimal so oft wie (1,1,1).

Intuitiv ist mir klar, dass (1,1,2) dreimal so oft vorkommt wie (1,1,1). Aber im Grunde genommen geht doch meine Intuition davon aus, dass das deswegen so ist, weil die 2 auf drei verschiedenen Stellen vorkommen kann (also ich intuitiv annehme, dass der Fall mit Beachtung der Reihenfolge vorliegt).

Also objektiv sieht das für mich so aus: Ich versuche zu entscheiden, ob ich das Würfeln mit oder ohne Reihenfolge modellieren soll. Entscheide mich dann dafür mit Beachtung der Reihenfolge zu modellieren. Als Grund nehme ich die Tatsache von oben, dass ohne Beachtung der Reihenfolge (1,1,1) und (1,1,2) gleichwahrscheinlich wären, wobei doch aber in Wirklichkeit (1,1,2) dreimal so wahrscheinlich ist. Also kann es nicht ohne Beachtung der Reihenfolge sein. Aber diese Behauptung, dass (1,1,2) dreimal so wahrscheinlich ist, beruht doch auf der Annahme, dass ich mir das Würfeln mit Beachtung der Reihenfolge vorstelle. Für mich ist das so ein Ringschluss....

Wie kommt man da raus? Kann man ohne die Entscheidung ob mit oder ohne Reihenfolge trotzdem begründen, dass (1,1,2) dreimal so wahrscheinlich ist wie (1,1,1)? (abgesehen davon die relativen Häufigkeiten experimentell zu bestimmen)
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Naja wie kommt man da raus... Deine Intuition ist schon komplett richtig. Da ist kein Zauber dabei.

1. Stelle: 1
2. S.: 1
3. S.: 2

ist genauso wahrscheinlich wie

1. S.: 1
2S: 1
3S: 2

oder genauso wahrscheinlich wie:

1S: 6
2S: 3
3S: 4

etc.
Zitat:
Als Grund nehme ich die Tatsache von oben, dass ohne Beachtung der Reihenfolge (1,1,1) und (1,1,2) gleichwahrscheinlich wären


Das ist keine Tatsache.

Mach dir am besten mal ein Baumdiagramm. Natürlich nur mit den relevanten Pfaden, die 3,4,5,6 kannste komplett rauslassen. Am Ende werden die Pfadwahrscheinlichkeiten (wegen der und-Verknüpfung) multipliziert und die verschiedenen "günstigen" Pfade (wegen der oder-Verknüpfung) addiert.

Ein Pfad sieht z.B. so aus:



Ergänze den ruhig mit allen Möglichkeiten. Auch den komplett ungünstigen, z.B. (2,2,1). Und dann markierst du die günstigen Pfade für die verschiedenen Ereignisse. Natürlich noch Pfadwahrscheinlichkeiten einzeichnen.
(1,1,1) mit und ohne Beachtung der Reihenfolge (groooßer Unterschied Augenzwinkern )
(1,1,2) mit Beachtung der Reihenfolge.
(1 1 2) ohne Beachtung der Reihenfolge.
Ich glaube ich haue die Formalismen durcheinander, aber es ist klar was gemeint ist.
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal vielen Dank für die Antwort.

geht ein Baumdiagramm nicht auch davon aus, dass die Würfel unterscheidbar sind?
Du schreibst ja auch 1.Würfel würfelt dies, 2. Würfel würfelt jenes usw.

Vielleicht ist auch das mein Verständnisproblem: Können die Würfel unterscheidbar sein und trotzdem mache ich ein Experiment ohne Beachtung der Reihenfolge?

Ich hätte gedacht, sobald man die Würfel voneinander unterscheidet, beachtet man die Reihenfolge schon.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du so weiter machst, dann bringt dich dieses Rumphilosophieren noch völlig durcheinander. Merk es dir am besten so:

Der "Zufall" kann die Würfel immer unterscheiden, nur du eben nicht. Stell es dir also so vor, als klebe an jedem Würfel auch beim gleichzeitigen Werfen jeweils eine für dich unsichtbare Markierung (oder Nummerierung) dran. Dem Zufall ist es nämlich völlig egal, ob diese Nummerierung dran ist oder nicht, der konkrete einzelne Würfel fällt trotzdem nach den gleichen Zufallsgesetzen.
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

ja - ganz ehrlich hat mich das schon durcheinander gebracht Augenzwinkern

danke für die Antwort.
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