Von 2 Punkten an eine Kugel eine Tangentialebene anlegen

Neue Frage »

barcley Auf diesen Beitrag antworten »
Von 2 Punkten an eine Kugel eine Tangentialebene anlegen
Hallo,

ich habe aus dem Lambacher-Schweizer die Aufgabe an die kugel die Berührpunkte der Tangentialebenen auszurechnen, die durch die Punkte P(-2|14|7) und Q(10|-2|-2) gehen.

Mein Lösungsansatz ist, das LGS mit den Gleichungen





nach b1,b2,b3 aufzulösen. Nur leider ist bei mir das LGS nicht lösbar (negative Wurzel) und auch Derive sagt, das es nicht lösbar ist. Habe ich mich hier irgendwo verrechnet, oder geht das anders?

Danke,

Sebastian
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »
Einfacher Ansatz
Eigentlich brauchst Du nur zwei Gleichungen. Was ist ?
Wenn Du die alle Tangentenberührpunkte von P (Q) mit der Kugel berechnest, erhälst Du einen Kreis für jeden der beiden Punkte, die auf der Kugel liegen. Gleichsetzten dieser sollte genau zwei Lösungen geben.

Den Berührkreis kannst Du über das Wissen der Rechtwinkligkeit ermitteln.

Bin ich da jetzt völlig auf dem Holzweg, das klingt so trivial?

Jan
 
 
barcley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfacher Ansatz
Hallo,

mit b1, b2, und b3 meinte ich die Werte des Vektors . Deshalb brauchte ich auch 3 Gleichungen, da 3 Unbekannte.

Zitat:
erhälst Du einen Kreis für jeden der beiden Punkte, die auf der Kugel liegen. Gleichsetzten dieser sollte genau zwei Lösungen geben.


Ok, das wären dann ja, wenn ich dich richtig verstanden habe, praktisch 2 Tangentialkegel mit ihrem entsprechenden Schnittkreis. Wo ich aber noch ein Problem habe ist das Schneiden der 2 Kreise. Wir haben in der Schule im 3-dimensionalen Schnittkreise immer nur mit Mittelpunkt und Radius angegeben, aber nie entsprechende Gleichungen aufgestellt. Deshalb hab ich keine Idee, wie ich im 3D 2 Kreise schneiden soll.

Danke,

Sebastian
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfacher Ansatz
@kurellajunior:
- b1, b2, b3 sind die Koordinaten der Berührungspunkte
- Ich bin nicht sicher, ob zwei Gleichungen reichen.
- Ich stelle mir die Situation so vor: Die gesuchte Ebene dreht um die Achse und "klatscht" von oben und von unten an die Kugel.

Der Ansatz lautet:
(1), Orthogonalität
(2), Orthogonalität
(3), Kugelradius

Das sind 3 Gleichungen für die 3 Koordinaten des Berührpunkts .

Dieses GLS hat 2 Lösungen, nämlich und (Irrtum vorbehalten Augenzwinkern )

Gruss yeti

Edit: Kam wieder einmal zu spät unglücklich . Sieh dir trotzdem meine Lösung an. Sie dünkt mich vorstellungsmässig einfacher.
barcley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfacher Ansatz
Hallo,

bei mir gibt es beim auflösen leider immer noch eine negative Diskrimante. Hast du das per Hand aufgelöst? Meine 3 Ausgangsgleichungen, die ich auflöse, sind:





Sind das dieselben wie bei dir?

Danke,

Sebastian
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfacher Ansatz
Hallo Sebastian,

ich habe deine Gleichungen mit den meinen verglichen. Sie sind absolut identisch. Es bleibt nur der Schluss, dass du beim Auflösen des GLS irgendwo einen Fehler machst.

Nein, ich habe das GLS nicht von Hand gelöst. Das hat mir mein PC abgenommen. Ich möchte es auch nicht von Hand nachvollziehen. Das gibt zuviel Arbeit.

Schau dir doch noch einmal deinen Lösungsweg an. Manchmal schaut man 10-mal auf die Fehlerstelle und sieht den Fehler doch nicht. Zumindest weisst du jetzt, dass deine Ausgangsgleichungen i.O. sind.

Viel Erfolg beim Fehlersuchen Freude

Gruss yeti
barcley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfacher Ansatz
Hallo,

na ja beruhigend zu wissen, das ich doch nicht zu blöd bin, die Gleichungen aufzustellen :-).

Ich such dann mal weiter *seufz*.

Danke,

Sebastian
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfacher Ansatz
weil heute mein sozialer tag ist, zu fuß:




aus 1/2 I -12x + 16y + 9z + 79=0
aus 1/3 II -5x + 15y + 10z + 35 = 0

ergibt x = 3y + 2z + 7
z = -1/3(4y + 1) und x = 1/3(y + 19)

in (3) eingesetzt führt zu


und y1 = 2 und y2 = -1
werner
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfacher Ansatz
Zitat:
Original von barcley
Zitat:
erhälst Du einen Kreis für jeden der beiden Punkte, die auf der Kugel liegen. Gleichsetzten dieser sollte genau zwei Lösungen geben.


Ok, das wären dann ja, wenn ich dich richtig verstanden habe, praktisch 2 Tangentialkegel mit ihrem entsprechenden Schnittkreis. Wo ich aber noch ein Problem habe ist das Schneiden der 2 Kreise. Wir haben in der Schule im 3-dimensionalen Schnittkreise immer nur mit Mittelpunkt und Radius angegeben, aber nie entsprechende Gleichungen aufgestellt. Deshalb hab ich keine Idee, wie ich im 3D 2 Kreise schneiden soll.

Danke,

Sebastian


Genau das meinte ich Augenzwinkern aber wenn Dir die Kreise zu unhantlich sind, dann lieber wie beschrieben. man die Kreise übrigens genauso gleichsetzen wie alle anderen Dinge...

Jan
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfacher Ansatz
@kurella, ich kann mir aber nicht recht vorstellen, dass man mit 2 gleichungen für 3 unbekannte das auslangen finden kann

und wie soll das in der praxis denn ausschauen?
werner
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfacher Ansatz
Nicht Grundsätzlich, aber in diesem Fall. Es muss doch einen Darstellung eines Kreises im Raum geben... und davon zwei, die gleichsetzen, fertsch. Praktisch hab ich das nicht gemacht, war nur ein AnsatzAugenzwinkern Deiner ist auch schönsmile

Jan
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfacher Ansatz
hallo jan,

ich denke gerade da liegt das problem,
du kannst eben - soweit ich weiß - keine gleichung des kreises im raum angeben!
nur wenn du die ebene kennst, in der der kreis liegt - und die suchst du ja eigentlich, kannst du eine parameterform des kreises (mit hilfe von 2 orthogonalen einheitsvektoren derselben) angeben.
wie gesagt, soweit ich weiß
werner

mein ansatz: ist nur die umsetzung der 3 vektorgleichungen
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfacher Ansatz
Jetzt hast Du mich neugierig gemacht, ich guck mal zu Hause in Ruhe, ob ich nicht mit der Überlegung der Orthogonalität eine Parameterform bekomme, die einen Kries darstellt...

Bis denne, Jan
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfacher Ansatz
Zitat:
Original von kurellajunior
Jetzt hast Du mich neugierig gemacht, ich guck mal zu Hause in Ruhe, ob ich nicht mit der Überlegung der Orthogonalität eine Parameterform bekomme, die einen Kries darstellt...

Bis denne, Jan


hallo jan,
viel spaß
und ich bin auch neugierig
werner
McKing Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung
Die Berührpunkte sind: (6|-1|1) und (7|2|-3).
Ihr könnt ja mal die Tangentialebenen aufstellen, P und Q liegen wirklich drinne.
Man bastelt einfach um P und Q Kugeln und berechnet den Schnittpunkt der drei Kugeln.
Radius von der Kugel um P= Wurzel(Abstand PM^2 - r^2)
Radius von der Kugel um Q= Wurzel(Abstand QM^2 - r^2)

Ergibt ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen, 3 Variabelen (x1,x2,x3) und den zwei obigen Lösungen.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung
das ist aber schon seit 13.03.2005, 19 uhr 59 bekannt Big Laugh
und daher heute von ziemlich untergeordnetem interesse Big Laugh
werner
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »