Rechenproblem mit Skalarprodukt

20.09.2007, 11:28	Kati3	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenproblem mit Skalarprodukt Ich glaube ich stehe vollkommen auf der Leitung. Es soll äquivalent sein: (i) $\begin{eqnarray} A^T A c = A^T y \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} <y-Ac^,Ac> = 0 \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} n \leq m, A \in \mathbb{R}^{m \times n}, c \in \mathbb{R}^n, y \in \mathbb{R}^m, <\cdot,\cdot> \end{eqnarray}$ das euklid. Skalarprodukt und das $\begin{eqnarray} c^* \end{eqnarray}$ aus (ii) soll die Gleichung (i) (in c) lösen. Zitat aus dem Skript: "(ii) ist gerade (i)." Wenn ich von (ii) ausgehe und nachrechne komme ich soweit: $\begin{eqnarray} <y-Ac^,Ac> = <y,Ac> - <Ac^,Ac> = y^T Ac - (Ac^)^T Ac = 0 \end{eqnarray}$ Aber wie komme ich auf die Form (i)?
20.09.2007, 11:37	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss da nicht noch irgendwo ein "für alle" hin? Sonst macht das alles keinen Sinn. Und die Bedeutung des c* entzieht sich mir auch noch.
20.09.2007, 12:13	kati3	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, da habe ich wohl zu viel weggelassen. Also es geht um die Methode der kleinsten Quadrate (Numerik). Da möchte man ja einen Ausdruck minimieren. Diesen schreibt man um in Matrixform und hat dann eine Funktion in n Variablen. Zur Lösung des Minimierungsproblems bildet man den Gradienten, und dies soll wiederrum äquivalent zur Gleichung (i) sein. D.h. A und y sind gegeben, c gesucht. Um das zu beweisen wendet man den Projektionssatz an und findet, daß der minimierende Vektor v* charakterisiert ist durch $\begin{eqnarray} \forall_{v \in V}<y-v^,v> = 0 \end{eqnarray}$ . Und wenn man jetzt $\begin{eqnarray} Ac^* = v^* \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} Ac = v \end{eqnarray}$ setzt kommt man auf Gleichung (ii). Also aus Sicht des Projektionssatzes ist der $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^m \end{eqnarray}$ mit dem euklidischen Produkt der lineare Raum und $\begin{eqnarray} \{ Ac: c \in \mathbb{R}^n \} \end{eqnarray}$ der Unterraum, aus dem der "minimierende" Vektor stammt. Das würde mir ja alles einleuchten, wenn ich diese Gleichheit (i)<-->(ii) verstehen würde. Das "für alle" müßte dann eigentlich bei Formel (ii) fehlen, also $\begin{eqnarray} \forall_{c \in \mathbb{R}^n} \end{eqnarray*}$
20.09.2007, 12:29	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \forall c : (y -Ac^)^T Ac = 0 &\Longleftrightarrow& (y - Ac^)^TA = 0\\ &\Longleftrightarrow& \left(y^T - (c^)^TA^T\right) A = 0\\ &\Longleftrightarrow& y^T A = (c^)^T A^T A\\ &\Longleftrightarrow& A^T y = A^T A c^. \end{eqnarray}$ Insofern muss es in der ersten Gleichung c statt c heißen.
20.09.2007, 13:02	kati3	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!
20.09.2007, 13:07	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Das nächste mal schreib aber bitte ordentlich ab, ja?
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03.10.2007, 21:16	Nero22	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wie hast du (WebFritzi) denn bei deinem ersten Äquivalenzzeichen das c weggelassen? Es gilt zwar für alle c, aber ist das Produkt Ac dann nicht stets ein Spaltenvektor (und keine Matrix mehr)?
05.10.2007, 19:10	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
"Bx = 0 für alle x" ist gleichwertig mit "B = 0".

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