Doppelintegral, jacobi und koordinatentransf.

20.09.2007, 11:49

Ano302

Doppelintegral, jacobi und koordinatentransf.

Berechnen sie das Doppelintegral
$\begin{eqnarray*} \int_{A}^{ } e^{\frac{(x-y)}{(x+y)}} dx dy \end{eqnarray*}$

A={(x,y)€ $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ | 0<x<1 , 0<y<1-x}

verwenden sie Koordinatentransformatin (u,v)=(x-y,x+y)
Skizieren sie A in der (x,y) Ebene und A´in der (u,v) Ebene
Um A´zu finden: führen sie die Ecken von A über und verbinden Sie sie mit Geraden.

Soweit zur Aufgabenstellung.
Nun zur bearbeiten. Skizzieren. A in der x,y Ebene gibt ein Dreieck mit der x-Achse, der y-Achse und der Geraden von 1,0 zu 0,1.
A´ wird es schon schwerer. ist es das Quadrat 0,0 -1,0 0,-1 und 1,-1?
Ich habe nur die Ecken (1,0 und 0,1) genommen und in u bzw v eingesetzt.

Zum integral. Wir bräuchten die Jacobideterminante
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \frac {\Delta f(x)}{\Delta u} & \frac{\Delta f(x)}{\Delta v} \\ \frac{\Delta f(y)}{\Delta u} &\frac{\Delta f(y)}{\Delta v} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
zur zweiten meiner Fragen, was muss ich wo in die Jacobimatrix einsetzen?

20.09.2007, 12:03

WebFritzi

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Die Koordinatentransformation ist eine lineare Abbildung. Also ist A' ebenfalls ein Dreieck.

Die Jacobimatrix einer linearen Abbildung, die bzgl. der Standardbasen durch die Matrix M dargestellt wird, ist M selber.

20.09.2007, 12:46

Ano302

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mein A ist aber richtig bestimmt. Wie komme ich denn dann auf eine Abbildung die dem entspricht?
ich habe jetzt die ecken (1,0 und 0,1) in u und v eingesetzt und kam jetzt auf 0,1 0,-1 und 1,0. Also ein Dreieck.

zu der Jacobimatrix.
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \frac {\Delta e_x{}^{\frac{(x-y)}{(x+y)}}}{\Delta u} & \frac{\Delta e_x{}^{\frac{(x-y)}{(x+y)}}}{\Delta v} \\ \frac{\Delta e_y{}^{\frac{(x-y)}{(x+y)}}}{\Delta u} &\frac{\Delta e_y{}^{\frac{(x-y)}{(x+y)}}}{\Delta v} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
muss ich da schon irgendwo schon x+y durch v und x-y durch u ersetzen? sonst macht das mit dem $\begin{eqnarray*} \Delta v \end{eqnarray*}$ keinen sinn.
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \frac {\Delta e_x{}^{\frac{(u)}{(x+y)}}}{\Delta u} & \frac{\Delta e_x{}^{\frac{(u)}{(x+y)}}}{\Delta v} \\ \frac{\Delta e_y{}^{\frac{(x-y)}{(v)}}}{\Delta u} &\frac{\Delta e_y{}^{\frac{(x-y)}{(v)}}}{\Delta v} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

20.09.2007, 13:02

WebFritzi

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Sei $\begin{eqnarray*} \phi(x,y) := (x-y,x+y). \end{eqnarray*}$ Mit $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ wollen wir die Umkehrabbildung von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ bezeichnen. Dann gilt nach dem Transformationssatz

$\begin{eqnarray*} \int_A f(x,y)\,d(x,y) = \int_{A'} f(\psi(u,v))\cdot |\det(\psi'(u,v))|\,d(u,v). \end{eqnarray*}$

21.09.2007, 15:29

Ano302

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kannst du bitte etwas näher darauf eingehen?
Ich habe zum SS07 Chemie angefangen. Da gabs kein Mathe 1 aber uns wurde gesagt, das braucht man nicht. Deshalb hab ich mich gleich zu mathe 2 angemeldet.
Die Aufgabe ist aus ner alten Mathe2 Klausur und ich musste einiges Nachlesen. So z.B. Koordinatentransformation. Jacobimatrix hab ich nur in Wikipedia halbwegs gut gefunden. Hab den Weltner durchgearbeitet da kam sowas auch nicht schön drin vor. Hab jetzt nur diese Formeln und weiß nicht richtig, wie ich damit umgehen soll und hab auch nochnie so eine Aufgabe gerechnet. Deshalb bringt mir das jetzt nicht soviel.
Ich würde allerdings trotzdem gerne die Klausur bestehen damit mein Punktekonto nicht unnötig belastet wird.

21.09.2007, 21:38

WebFritzi

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Zitat:

Original von Ano302
kannst du bitte etwas näher darauf eingehen?

Naja, ich habe ja eigentlich alles hingeschrieben. Wo hast du denn genau Probleme?

22.09.2007, 11:20

Ano302

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mein Problem ist ich tappe gerade ein wenig im Dunkeln und bin von dem was ich hier von mir gebe (z.b. die Jacobimatrix oder aber auch A´) nicht überzeugt. Mir würde es helfen, wenn du erstmal sagst: "Matrix is falsch, da kommt das hin. Dann denk ich nach und sag ja oder nein."
oder "A´ist richtig".

22.09.2007, 17:08

WebFritzi

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Zitat:

Original von Ano302
Mir würde es helfen, wenn du erstmal sagst: "Matrix is falsch, da kommt das hin."

Gut. Bei deinem Zeugs ist alles falsch. Hier brauchst du nicht die Jacobimatrix von f (also der e-Funktion), sondern die Jacobimatrix von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ , und das ist $\begin{eqnarray*} \psi'. \end{eqnarray*}$ Das hatte ich doch aber alles schon geschrieben...

EDIT: Finde doch erstmal die Umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ heraus.

24.09.2007, 10:45

Ano302

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hab jetzt doch noch mal eine schöne beispielaufgabe gefunden wo man das relativ schön nachvollziehen konnte. Also fangen wir nochmal ganz von vor ne an.

u=x-y
v=x+y

daraus folgt x=(u+v)/2 y=(-u+v)/2

A grafisch ausgedrückt ist das Dreieck 0,0; 0,1; 1,0
A´ ist nun 0,0; -1,1; 1,1
Jeweils ein Dreieck.

$\begin{eqnarray*} detJ=\begin{vmatrix} 0,5\frac{u+v}{\Delta u} & 0,5\frac{u+v}{\Delta v} \\ 0,5\frac{-u+v}{\Delta u}& 0,5\frac{-u+v}{\Delta v} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 0,5 & 0,5 \\-0,5 & 0,5 & \end{vmatrix} =0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{A'}^{ }~e^{ \frac{u}{v} }~dudv \end{eqnarray*}$

Bis dahin sollte es stimmen.
Jetzt die grenzen. Setz ich da jetzt für u von -1 bis 1 und für v 0 bis 1 ein? Das sollte eigentlich das rechteck geben aber die 0,5 aus der Jacobimatrix würden daraus ein Dreieck machen.

24.09.2007, 15:20

WebFritzi

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Zitat:

Original von Ano302
hab jetzt doch noch mal eine schöne beispielaufgabe gefunden wo man das relativ schön nachvollziehen konnte.

Diese "Beispielaufgabe" ist dieselbe wie die obige.

Zitat:

Original von Ano302
Also fangen wir nochmal ganz von vor ne an.

u=x-y
v=x+y

daraus folgt x=(u+v)/2 y=(-u+v)/2

A grafisch ausgedrückt ist das Dreieck 0,0; 0,1; 1,0
A´ ist nun 0,0; -1,1; 1,1
Jeweils ein Dreieck.

$\begin{eqnarray*} detJ=\begin{vmatrix} 0,5\frac{u+v}{\Delta u} & 0,5\frac{u+v}{\Delta v} \\ 0,5\frac{-u+v}{\Delta u}& 0,5\frac{-u+v}{\Delta v} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 0,5 & 0,5 \\-0,5 & 0,5 & \end{vmatrix} =0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{A'}^{ }~e^{ \frac{u}{v} }~dudv \end{eqnarray*}$

Bis dahin sollte es stimmen.

Ja, und genau das hatte ich oben geschrieben.

Zitat:

Original von Ano302
Jetzt die grenzen. Setz ich da jetzt für u von -1 bis 1 und für v 0 bis 1 ein?

Nein. Mal dir das Dreieck A' auf, markiere dir auf der u-Achse irgendein u zwischen -1 und 1 und schau dir an, zwischen welchen Werten v liegen muss, damit der Punkt (u,v) im Dreieck ist.

24.09.2007, 15:32

Ano302

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Zitat:

Diese "Beispielaufgabe" ist dieselbe wie die obige.

Ich habe eine Beispielaufgabe gefunden die gelöst war. Dadurch konnte ich diehier bearbeiten.

Zitat:

Ja, und genau das hatte ich oben geschrieben.

hab ich nicht verstanden :-/

Also mein Dreieck sieht so aus wie im anhang.
v<1
-1<u<1
v>|u|

24.09.2007, 15:40

WebFritzi

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Zitat:

Original von Ano302

Zitat:

Ja, und genau das hatte ich oben geschrieben.

hab ich nicht verstanden :-/

Das hättest du aber, wenn du dich bemüht hättest. Du kannst dir vielleicht denken, dass man so nicht besonders viel Spaß daran hat, dir zu helfen. unglücklich

Zitat:

Original von Ano302
Also mein Dreieck sieht so aus wie im anhang.
v<1
-1<u<1
v>|u|

Aha. |u| < v < 1. Dann sieht dein Integral so aus

$\begin{eqnarray*} \int_{u=-1}^1\int_{v=|u|}^1 \dots. \end{eqnarray*}$

So ist es richtig. Es ist aber eigentlich einfacher, zuerst v festzuhalten und dann festzustellen, von wo bis wo u läuft.

24.09.2007, 16:20

Ano302

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Es tut mir leid, wenn ich deine Formeln oben nicht verstanden habe. Ich hab mich angestrengt aber ich habe vorher noch keine solche Aufgabe bearbeitet gesehen geschweige denn selbst gerechnet. Ich bin dir echt dankbar dass du mir hier hilfst.

Vom Integrieren ist es einfacher erst nach u zu integrieren.
Deshalb versuche ich jetzt die zugehörigkeiten zu verändern.
Also 0<v<1
für die linke seite: u>-v
rechts u<v
insgesammt -v>u>v

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_{v=0}^{1} \int_{u=-v}^{v}~e ^{\frac{u}{v} }dudv=\frac{1}{2} \int_{v=0}^{1}ve^{1}-ve^{-1}dv=\frac{1}{4}*(e-e^{-1}) \end{eqnarray*}$

Das wäre jetzt mein Ergebnis.

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