Linearität bei DGLs

12.03.2005, 21:10

oldmangloom

Linearität bei DGLs

Habe folgende DGL zu lösen : $\begin{eqnarray*} x^{2} * y' = x^{2}+ x*y+y^{2} \end{eqnarray*}$
Nun meine Frage: Da diese DGL nicht linear ist, muss ich doch Substituieren, damit ich sie mittels Trennung der Variablen lösen kann, oder kann man sie direkt mittels Trennung der Variablen lösen. In meinen Mathe-Büchern steht nur drin was lineare und nicht lineare DGLs sind, aber nicht ob man im nicht-linearen Fall andere Lösungsmethoden anwenden muss. Wenn das nicht der Fall ist versteh ich aber nicht warum die so darauf rumreiten.

12.03.2005, 21:39

iammrvip

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Hallo

Deine Gleichung ist

$\begin{eqnarray*} x^2y' = x^2 + xy + y^2 \end{eqnarray*}$

Teile doch erstmal durch $\begin{eqnarray*} x^2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann sieht man die Substitution sofort:

$\begin{eqnarray*} y' = 1 + \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^2 \end{eqnarray*}$

oder??

also

substituiere: $\begin{eqnarray*} u = \frac{y}{x} \Rightarrow y = ux \end{eqnarray*}$

12.03.2005, 21:49

oldmangloom

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Meine Frage war eigentlich eher ob man bei dieser DGL ohne Substitution weiter kommt oder ob man Substituieren muss, weil der Term y^2 verboten ist ?? Habe mal einfach so Trennung der Variablen angewendet. Man kommt auf ein Ergebnis, allerdings auf ein anderes als wenn man Substituiert (hab ich auch schon gemacht, trotzdem danke für deinen Hinweis) Augenzwinkern