Fragen zum [WS] - Polynominterpolation

20.09.2007, 16:21

tigerbine

Fragen zum [WS] - Polynominterpolation

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05.01.2008, 13:40

Enesepp

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Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zum Beweis, der in diesem Post geführt wird.

Ich bin bisher noch nie auf die Darstellung des Restglieds

mittels dividierter Differenzen gestoßen, fand sie aber auf Anhieb sehr interessant, weil die Strategie klar hervorgeht:
$\begin{eqnarray*} f(x_{n+1})-p_n(x_{n+1})=%20f_{0,n+1}\cdot%20\prod_{j=0}^n(x_{n+1}-x_j) \end{eqnarray*}$ (1)

So weit, so gut. Dann soll gezeigt werden, dass

Ich kann aber an folgendem Punkt nicht ganz folgen:
Im verlinkten Post wird in der ersten Zeile des Beweises ein von dem in (1) verschiedenes $\begin{eqnarray*} p_{n+1} \end{eqnarray*}$ herangezogen, also $\begin{eqnarray*} p(f|{x_0},...,{x_n},{x_{n+1}}) \end{eqnarray*}$ .

Das entsprechende $\begin{eqnarray*} \varepsilon(x) \end{eqnarray*}$ soll aber dann, damit das hier stimmen kann
$\begin{eqnarray*} \varepsilon^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x)-p_{n+1}^{(n+1)}(x)\stackrel{\mathrm{Darst. 2}}=f^{(n+1)}(x)-(n+1)!\cdot f_{0,n+1} \end{eqnarray*}$ ,
noch immer
$\begin{eqnarray*} [{x_0},...,{x_{n+1}}]f \cdot \prod_{j=0}^{n}(x-x_j) \end{eqnarray*}$
sein, wie in (1). Für mein Verständnis müsste da jetzt aber eine andere dividierte Differenz
$\begin{eqnarray*} [{x_0},...,{x_{n+1}},x]f \end{eqnarray*}$
stehen, und eigentlich auch ein anderes $\begin{eqnarray*} \prod_{j=0}^{n+1}(x-x_j) \end{eqnarray*}$ .

Oder warum nicht?
Ich hoffe, jemand behält bei diesen Gedankengängen den Durchblick und kann mir sagen, warum ich irre. verwirrt

Besten Dank im Vorraus!

14.01.2008, 11:55

tigerbine

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Hier wird die Darstellung mittels dividierter Differenz beweisen. War das noch klar? (1)

Da dies zunächst nicht mehr als ein Fomralismus ist, uns also für die Berechnung (Abschätzung) des Interpolationsfehlers nicht weiter bringt, muss eine andere Darstellung der div. Differenz gefunden werden. Das führt auf:

$\begin{eqnarray*} f_{0,n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$ (#)

Nun handelt es sich um 2 verschiedene Posts und Interpolationsfehler. Ziel ist die Gültigkeit von (#) zu zeigen. Um weitere Verwirrungen zu Vermeiden habe ich einmal eine Bezeichnung $\begin{eqnarray*} \hat \varepsilon \end{eqnarray*}$ gewählt. Man betrachtet also den Fehler:

$\begin{eqnarray*} \hat \varepsilon(x):=f(x)\underbrace{-p_{n+1}(x)} \end{eqnarray*}$

Wie sehen die Ableitungen aus? Dazu benutzen wir (Darstellung 2 (*)), leiten also im Grunde folgendes (n+1)-mal ab.

$\begin{eqnarray*} \hat \varepsilon(x):=f(x)\underbrace{-p_n(x)-f_{0,n+1}\cdot \prod_{j=0}^n(x-x_j)} \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} p_n \in \Pi_n \end{eqnarray*}$ , daher folgt $\begin{eqnarray*} p_n^{(n+1)}(x) =0 \end{eqnarray*}$

Das Knotenpolynom ist normiert und hat den Grad (n+1), daher ist die (n+1)-te Ableitung gerade $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \hat\varepsilon^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x)-(n+1)!\cdot f_{0,n+1} \end{eqnarray*}$

Und mit der Nullstelle $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ folgt dann die Behauptung.

15.01.2008, 18:15

Enesepp

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Servus tigerbine!

Zitat:

Original von tigerbine

Nun handelt es sich um 2 verschiedene Posts und Interpolationsfehler. [...] Um weitere Verwirrungen zu Vermeiden habe ich einmal eine Bezeichnung $\begin{eqnarray*} \hat \varepsilon \end{eqnarray*}$ gewählt.

[...]

$\begin{eqnarray*} \hat \varepsilon(x):=f(x)\underbrace{-p_{n+1}(x)} \end{eqnarray*}$

Wie sehen die Ableitungen aus? Dazu benutzen wir (Darstellung 2 (*)), leiten also im Grunde folgendes (n+1)-mal ab.

$\begin{eqnarray*} \hat \varepsilon(x):=f(x)\underbrace{-p_n(x)-f_{0,n+1}\cdot \prod_{j=0}^n(x-x_j)} \end{eqnarray*}$

Das waren die Knackpunkte. Vor allem der Zwischenschritt in der untersten von mir zitierten Latex-Formel, den du dir im Workshop gespart hast. Jetzt ist mir der Beweis klar. Herzlichen Dank für die Antwort! =)

Nun aber noch eine kurze Frage:

Was für ein Intervall $\begin{eqnarray*} [a;b] \end{eqnarray*}$ ist das explizit, in dem $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ liegt? Genau dieses Intervall braucht man ja für die anschließenden Fehlerabschätzungen. Laut Rolle müsste es das Intervall $\begin{eqnarray*} [x_0;x_{n+1}] \end{eqnarray*}$ sein für $\begin{eqnarray*} x_0 < x_1 < ... < x_{n+1} \end{eqnarray*}$ . Nun ist aber ja $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ , wenn man für ein Interpolationspolynom $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ den Fehler abschätzen will, im Grunde eine unbekannte, allgemeine Stützstelle. Was also wäre ein "geeignetes" [a;b]?

15.01.2008, 18:22

tigerbine

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Ich werde das als Anregung nehmen und ggf im WS ergänzen.

Für die unbekannte Stelle gilt unter der Annahme das die Knoten geordnet vorliegen ( $\begin{eqnarray*} x_0 < x_1 <...< x_{n+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \xi \in ]x_0,~x_{n+1}[ \end{eqnarray*}$ (*)

Edit:
Es ist ja nun der letzte Knoten frei wählbar. Bei einer Interpolation sind aber die (n+1) Knoten, an denen Interpoliert werden soll, fest vorgegeben. Also wählt man den "zusätzlichen" innerhalb des notwendigen Intervalls [a,b]. Daher gilt am Ende

$\begin{eqnarray*} \xi \in [a,b] \end{eqnarray*}$

Ich würde wegen (*) eigentlich sogar sagen in ]a,b[, aber die Literatur meint es da anders.

15.01.2008, 21:23

Enesepp

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Ah, verstehe. Man wählt sich quasi "zuerst" das zu betrachtende Intervall, dann ist $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ sicher da drin. verwirrt

Noch einmal danke für die Hilfe - und ein großes Lob für den WS bei dieser Gelegenheit!

15.01.2008, 21:32

tigerbine

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Was nun zuerst da war, die Henne oder das Ei mag jeder für sich beantworten. Wir gehen bei der IP Betrachtung von einem vorgegeben Datensatz aus. Daher ist [a,b] als gegeben anzunehmen. Danach beurteilen wir, wie gut die Näherung (Approximation) an eine Funktion ist.

Dabei ist zu erwähnen, dass der IP Ansatz i.A. nicht die "beste Approximation" liefert. Schau doch hierfür mal in den Thread Bestapproximation

Freut mich, dass Dir der [WS] gefällt.

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