gegenseitige lage zweier ebenen

20.09.2007, 16:25

lukamike

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gegenseitige lage zweier ebenen

hi,folgende frage:
unterwsuchen sie die beiden ebenen $\begin{eqnarray*} F_t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_t \end{eqnarray*}$
auf gegenseitige lage.

$\begin{eqnarray*} F_t \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2-2tx_3=5+2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_t \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 2x_1+tx_2+tx_2+5x_3=1 \end{eqnarray*}$

und soweit bin ich gekommen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2t & 5+2t \\ 0 & -1+t & 2t+5 & -4-2t \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und jetz?
bei früheren aufgaben ohne parameter haben wir dann z.B. x3 =k oderso gesetzt um dann die schnittgerade zu bestimmen.

habe das da auch versucht aber da kam so ein gewurschtel rauas des kann einfach nicht richtig sein.
und habe ich mit diesem rechenschritt nicht schon bewiesen das sich die ebenen schneiden?
weil jetzt ist doch eine variable frei wählbar oder?

20.09.2007, 16:29

tigerbine

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RE: gegenseitige lage zweier ebenen
Von welchem Rechenschritt spricht Du denn?

Wie lauten denn die Normalenvektoren der Ebenen?

20.09.2007, 16:35

lukamike

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RE: gegenseitige lage zweier ebenen
ja gut rechenschritt is bissel weit ausgehohlt hab halt die obere zeile mit -1 multipliziert damit unten null steht.die normalvekroren waren nicht angegeben.glaube wir sollten das aber auch nicht mit den normalvektoren machen sondern in koordinatenform.

20.09.2007, 16:44

tigerbine

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RE: gegenseitige lage zweier ebenen
Kerle, die Ebene ist doch in Normalform gegeben. Also auch die Normalen-Vektoren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du kannst es auch über Koordinatendarstellung machen, dann musst Du aber erstmal die KForm aufstellen.

20.09.2007, 16:48

lukamike

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also wenn ich jetzt x3=k setzen würde das dann in die untere gleichung einsetze und das nacvh x2 auflöse habe ich ja bereits x3 und x2 dann würde ich das in die obere gleichung einsetzen und das wiederum nach x1 auflösen.
danach könnte ich das dann in parameterform als schnittgerade darstellen.
weis aber nicht ob das der richtige rechenweg ist.
auserdem wird ja nur gefragt wie die zueinander liegen ,nicht nach der schnittgeraden oderso

20.09.2007, 16:50

lukamike

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kform?

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20.09.2007, 16:50

tigerbine

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Eben. Deswegen würde ich es ja auch über die Normalenvektoren machen.

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7:	NV lin. unabhängig => Ebenen schneiden sich Ebenen sind identisch NV lin. abhängig => Ebenen sind paralell

KForm = Koordinatenform Big Laugh

Big Laugh

NV = Normalenvektoren

20.09.2007, 16:58

lukamike

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ja also identisch sind sie nicht sonst würde ja eine nullzeile unten rauskommen,ist nicht der fall.
und wenn es parallel wäre dann dürfte ich ja noch nicht mal soweit umformen können das ich unten etwas auf null bringen könnte oder?
weil in der form in der es ich jetzt hab da könnte ich x3 gleichsetzen mit einer variablen und die schnittgerade bestimmen.
bei einer nullzeile könnte ich zwei variablen frei wählen,in dieser form kann ich nur eine wählen was bedeutet sie schneiden sich.
bei unlösbarkeit also paralellität müsste ich gar nix wählen können.

korrigiere mich wenn ich falsch liege.

20.09.2007, 17:03

lukamike

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sorry muss mich korriegieren,bei parallelität müsste bei der umformung eine bösartige nullzeile entsehen.is ja nich passiert.
wollte eiegntloch nur wissen ob ich die aufgabe damnit gelöst habe

20.09.2007, 17:06

tigerbine

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Wir sind im IR^3

$\begin{eqnarray*} F_t \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2-2tx_3=5+2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_t \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 2x_1+tx_2+tx_2+5x_3=1 \end{eqnarray*}$

zunächst einmal entschuldige ich mich, dass ich den Begriff KForm so lapidar verwendet habe. Man kennt 3 Darstellungsformen einer Ebene:

Normelenform
Koordinatenform
Parameterform

Ich meinte statt K-Form, die hier angeben ist die Paramaterform. Jedoch hängen die ersten beiden recht einfach zusammen.

$\begin{eqnarray*} F_t \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2-2tx_3-(5+2t) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \vec{n_{Ft}}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2t\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_t \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 2x_1+tx_2+5x_3=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \vec{n_{Et}}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1t \\ 5-2t\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Warum hast Du den x_2 Teil da doppelt drin stehen? tippfehler?

=> edit

20.09.2007, 17:26

lukamike

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ja sorry tippfehler aber der rest stimmt.
also du meinst ich sollte das in vektorform umändern un dann mit einer matrix lösen?

20.09.2007, 17:33

tigerbine

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Welche Matrix meinst Du? Ich meine, dass Du die beiden Normalenvektoren, die man auch aus der Koordinatenform ablesen kann, auf lineare (Un)abhängigkeit prüfen sollst.

20.09.2007, 17:42

lukamike

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habe es jetz so gemacht wie du sagtest,denke ich habe es rausbekommen.
bin jetz zu faul das ganze zu posten aber hier nur mal die letzte zeile.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \\ 0 & 0 & 0 & (-4t^2-12t-18) & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt doch so oder

ich kann t nie so wählen das x3 null wird und -1 kann sowieso nicht null werden .
daraus folgt weder parallel noch identisch,die beiden ebenen schneiden sich für jedes t

20.09.2007, 17:54

tigerbine

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Zitat:

jetz zu faul das ganze zu posten

Na merci, d.h. ich soll die Aufgabe selber rechnen, anstatt nur deine Rechnung zu kontrollieren. So machst Du dir hier keine Freunde unglücklich

unglücklich

Außerdem ist dein Vektor viel zu lang. Keine Ahnung, was du gemacht hast. 2 Vektoren sind l.abh., wenn einer ein Vielfaches des anderen ist.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2t\end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ t \\ 5-2t\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus der ersten Zeile folgt dann unmittelbar die Bedingung k=1. Damit dann für die zweite Zeile auch sofort t=1. Jedoch ist dann in Zeile 3

$\begin{eqnarray*} -2 \neq 3 \end{eqnarray*}$

Also sind die Normalenvektoren linear unabhängig. Die Ebenen schneiden sich für jedes t.

20.09.2007, 18:26

lukamike

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$\begin{eqnarray*} E_t \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 2x_1+tx_2+5x_3=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_t \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2-2tx_3=2t+5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_t \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 8t+4 \\ 4t-8 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ =r
$\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ =s

daraus folgt $\begin{eqnarray*} 2r+tx_2+5s=1 \end{eqnarray*}$

daraus folgt: $\begin{eqnarray*} x_2=\frac{1-2r-5s }{t} \end{eqnarray*}$

daraus folgt: $\begin{eqnarray*} E_t \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\\frac{1}{t} \\ 0 \end{pmatrix} +k\begin{pmatrix} 1 \\\frac{-2}{t} \\ 0 \end{pmatrix}+l \begin{pmatrix} 0 \\\frac{-5}{t} \\ 1 \end{pmatrix} = \vec{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 8t+4 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 4t^2+12t+8 & 0 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -4t^2-12t-8 &-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1,5+/-\sqrt{2,25-4,5} \end{eqnarray*}$

keine lösung daraus folgt gls ist immer lösbar,daraus folgt nicht parallel.-1 wird nie null daraus folgt nicht identisch für keinen wert für t.

LÖSUNG:die ebenen schneiden sich für jeden wert von t

so genug selber gemacht?

warum ist das jetz bitte falsch ich hab genau dieselbe antwort wie du und man kann es nachvolziehen.

keine angst ich will überhaupt niemand für mich rechenn lassen

20.09.2007, 18:28

tigerbine

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Ok. Nur wie du siehst , wäre es mit den Normalenvektoren in diesem Fall schneller gegangen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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