topologie (folgenkompakt, kompakt)

20.09.2007, 19:16

sdfdasfddfs

topologie (folgenkompakt, kompakt)

Sei X ein top. Raum. Ist X folgenkompakt und gilt A2 so ist X kompakt.

A2: X hat eine abzählbare Basis.

Ich hab hier einen "Beweis" allerdings blick ich den nicht bzw. glaub, dass sich da Fehler eingeschlichen haben. Ich tipp ihn jetzt einfach mal ab und stell dann meine Fragen dazu.

Sei X nicht kompakt und gelte A2 z.z.: X ist nicht folgenkompakt.

Es gibt also eine offene Überdeckung $\begin{eqnarray*} X \subset \bigcup_{\lambda \in \triangle} \mathcal O_\lambda \end{eqnarray*}$ welche keine endliche Teilübereckung hat.

Da A2 erfüllt ist ex. eine abzählbare Teilüberdeckung

$\begin{eqnarray*} X \subset \bigcup_{i=1}^\infty O_{xi} \end{eqnarray*}$

Die Mengen $\begin{eqnarray*} X \setminus \bigcup_{i=1}^n \mathcal O_\lambda \end{eqnarray*}$ sind nicht leer. Wähle $\begin{eqnarray*} x_n \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \notin \bigcup_{i=1}^n \mathcal O_i \end{eqnarray*}$

Daruas folgt für $\begin{eqnarray*} n \geq i \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x_n \notin \mathcal O_ {\lambda i} \end{eqnarray*}$

Jedes $\begin{eqnarray*} \mathcal O_ {\lambda i} \end{eqnarray*}$ enthält also nur endl. viele Glieder der Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ und somit keinen Häufungspunkt, also auch keine konvergente Teilfolge.

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So das ergibt ja keinen Sinn, ich schreib jetzt mal, wie ich glaub, das es eher stimmt.

Sei X nicht kompakt und gelte A2 z.z.: X ist nicht folgenkompakt.

Es gibt also eine offene Überdeckung $\begin{eqnarray*} X \subset \bigcup_{\lambda \in \triangle} \mathcal O_\lambda \end{eqnarray*}$ welche keine endliche Teilübereckung hat.

Da A2 erfüllt ist ex. eine abzählbare Teilüberdeckung

$\begin{eqnarray*} \mathcal O_\lambda =\bigcup_{i=1}^\infty \mathcal O_{\lambda i} \end{eqnarray*}$

Die Mengen $\begin{eqnarray*} X \setminus \bigcup_{i=1}^n \mathcal O_{\lambda i} \end{eqnarray*}$ sind nicht leer.

Wähle $\begin{eqnarray*} x_n \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \notin \bigcup_{i=1}^n \mathcal O_{\lambda i} \end{eqnarray*}$

Daruas folgt für $\begin{eqnarray*} n' \geq n \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x_n \notin \mathcal O_ {\lambda i} \end{eqnarray*}$

Jedes $\begin{eqnarray*} \mathcal O_ {\lambda i} \end{eqnarray*}$ enthält also nur endl. viele Glieder der Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ und somit keinen Häufungspunkt, also auch keine konvergente Teilfolge.

So kann es aber eigentlich auch nicht stimmen... ich bekomms nicht hin. Kann mir jemand helfen?

21.09.2007, 22:57

Abakus

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RE: topologie (folgenkompakt, kompakt)
Ich versuche einmal, direkt etwas zu deinem Beweis zu sagen:

Zitat:

Original von sdfdasfddfs
Sei X nicht kompakt und gelte A2 z.z.: X ist nicht folgenkompakt.

OK, kannst du so machen. Da das nicht die genaue Kontraposition ist, wäre eine Anmerkung nicht schlecht, wieso das so geht.

Zitat:

Es gibt also eine offene Überdeckung $\begin{eqnarray*} X \subset \bigcup_{\lambda \in \triangle} \mathcal O_\lambda \end{eqnarray*}$ welche keine endliche Teilübereckung hat.

Ja, weil X nicht kompakt ist.

Zitat:

Da A2 erfüllt ist ex. eine abzählbare Teilüberdeckung

$\begin{eqnarray*} \mathcal O_\lambda =\bigcup_{i=1}^\infty \mathcal O_{\lambda i} \end{eqnarray*}$

Das machst du jetzt für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Die Mengen $\begin{eqnarray*} X \setminus \bigcup_{i=1}^n \mathcal O_{\lambda i} \end{eqnarray*}$ sind nicht leer.

OK, das solltest du noch begründen.

Zitat:

Wähle $\begin{eqnarray*} x_n \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \notin \bigcup_{i=1}^n \mathcal O_{\lambda i} \end{eqnarray*}$

Diese $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ hängen demnach von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ab.

Zitat:

Daruas folgt für $\begin{eqnarray*} n' \geq n \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x_n \notin \mathcal O_ {\lambda i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n' \end{eqnarray*}$ kommt in deiner Aussage hier gar nicht vor, d.h. meinen tust du vermutlich was anderes. Hier wäre also ein Knackpunkt.

Grüße Abakus smile

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