Vektoraufgabe

21.09.2007, 11:30

Matze^

Vektoraufgabe

Hi !

Gegeben seien 2 Einheitsvektoren a, b, der Winkel zwischen a und b betrage 60°. Gesucht ist der Flächeninhalt eines Parallelogramms, das von den Vektoren s=a+2b und t=2a+b aufgespannt wird.

Ich komme hier nicht weiter. Hat irgendjemand eine fixe Idee?

p.s die Vektorschreibweise hat irgendwie nicht funktioniert

21.09.2007, 12:01

Zellerli

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Mache dir einfach eine Skizze.
Im Grunde hast du alles gegeben:
Länge: 1
Winkel zw. a und bl: 60°
und aus was sich $\begin{eqnarray*} \vec{s} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{t} \end{eqnarray*}$ zusammensetzen.

Du kannst dann einfach nach der Formel $\begin{eqnarray*} A = g \cdot h \end{eqnarray*}$ vorgehen, wobei g und h natürlich Linearkombinationen aus den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ sind.

21.09.2007, 12:05

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Ùnd der Betrag der Vektoren a und b ist 1- Rest ist ein Kinderspiel

21.09.2007, 12:16

Zellerli

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Sag ich doch Augenzwinkern

Zitat:

Länge: 1

21.09.2007, 12:27

Matze^

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@PG: Das der Betrag 1 ist, ist mir klar und wurde auch schon gepostet.
Für jemanden der sich täglich mit der Mathematik auseinandersetzt ist das vielleicht ein Kinderspiel. Ich habe trotzdem noch ein paar Fragen.
Wie kann ich die 60° in meiner Rechnung mit einbringen (Formel?).Handelt es sich hier nicht um einen Spezialfall, dass die Länge des zu a und b senkrechten Vektors auch dem Flächeninhalt entspricht ? Dann bräuchte ich doch keine Formel für die Fläche oder?

21.09.2007, 12:41

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Zeichne dir ein beliebiges Parallelogramm mit Vektoren
Die Formel kann man sich selber herleiten.
$\begin{eqnarray*} A=g\cdot h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h=? \end{eqnarray*}$

Hinweis: Trigonometrie anwenden!

21.09.2007, 12:48

Matze^

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Wenn ich meinetwegen a(0,1,0) u. b(1,0,0) habe u. davon den Normalvektor bilde, müßte das doch "h" entsprechen oder? Aber dann hätte ich doch 90°?!

21.09.2007, 12:50

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Du sprichst hier von einem Speziallfall. Aber es wird hier allgemein gefragt und dazu brauchst du eine allgemeine Formel

21.09.2007, 12:51

WebFritzi

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@matze^: Wir befinden uns hier nicht im Raum, sondern in der Ebene!

21.09.2007, 12:56

Matze^

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Was sagt mir das jetzt, dass wir uns in einer Ebene befinden?

21.09.2007, 12:57

WebFritzi

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Dass deine Vektoren nicht 3 Koordinaten, sondern 2 Koordinaten haben.

3 Koordinaten: Raum
2 Koordinaten: Ebene

21.09.2007, 13:04

Matze^

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Wieso kann ich nicht einfach 1x1x60° rechnen? Oder das Kreuzprodukt der beiden Vektoren.

21.09.2007, 13:27

Zellerli

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Aaah sehr gut, wusste nicht wie weit du in Geo bist. Ja mit dem Kreuzprodukt is das einfacher, aber es geht leider nicht ganz so, wie du sagtest.

Denn nicht a und b spannen das Parallelogramm auf, sondern s und t und diese bestehen aus a und b. Deshalb ist die Länge von s und t auch nicht 1, sondern

Fläche $\begin{eqnarray*} A = \mid \vec{s} \mid \cdot \mid \vec{t} \mid \cdot \sin{\sphericalangle(s,t)} = \vec{s} \times \vec{t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s=\mid \vec{s} \mid = \mid \vec{a} + 2 \cdot \vec{b} \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\mid \vec{t} \mid = \mid 2\cdot \vec{a} + \vec{b} \mid \end{eqnarray*}$

21.09.2007, 13:30

Vektor123

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RE: Vektoraufgabe

Zitat:

Original von Matze^
Gegeben seien 2 Einheitsvektoren a, b, der Winkel zwischen a und b betrage 60°.

Definition: Wir nennen a einen Einheitsvektor, wenn sein Betrag gleich 1 ist.
Wenn Du jetzt a in der Ebene definierst mit:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kannst Du b bestimmen, wenn der Winkel zwischen a und b 60° ist?

Tipp: $\begin{eqnarray*} cos (60°) = 0,5 \end{eqnarray*}$

21.09.2007, 13:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von Zellerli
$\begin{eqnarray*} s=\mid \vec{s} \mid = \mid \vec{a} + 2 \cdot \vec{b} \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\mid \vec{t} \mid = \mid 2\cdot \vec{a} + \vec{b} \mid \end{eqnarray*}$

Wenn man noch bedenkt, daß $\begin{eqnarray*} s=\mid \vec{s} \mid = \sqrt{\vec{s} \cdot \vec{s}} \end{eqnarray*}$ ist (analog für Vektor t), dann hat man eine Reihe von Skalarprodukten, die sich relativ leicht berechnen lassen. Augenzwinkern

21.09.2007, 14:04

Matze^

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Dann müßte b(0; 0.5) sein -> Das eingesetz bedeutet
s=(1;0)+2*(0; 0.5) s=(1;1)
t=2*(1;0)+(0; 0.5) t=(2; 0.5) -> Nun die beiden Beträge mit dem Winkel multiplizieren

A= 1,936 FE

21.09.2007, 14:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von Matze^
Dann müßte b(0; 0.5) sein

Wie man leicht nachrechnet hat der Vektor (0; 0.5) nicht die Länge 1 und er steht natürlich auch nicht im Winkel von 60 Grad zu a.

Wenn du meinem Vorschlag folgen würdest, hättest du es am einfachsten.

21.09.2007, 14:23

Matze^

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Aber ich muss doch ersteinmal etwas für "s" haben um deinen Vorschlag zu folgen.

21.09.2007, 14:28

klarsoweit

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Du hast doch was für Vektor s (siehe Beitrag von Zellerli:

$\begin{eqnarray*} \vec{s} = \vec{a} + 2 \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{t} = 2 \cdot \vec{a} + \vec{b} \end{eqnarray*}$

Das reicht vollkommen, um damit zu rechnen.

21.09.2007, 14:32

riwe

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noch einfacher geht es so:

$\begin{eqnarray*} \vec{s}\times\vec{t}=4(\vec{b}\times\vec{a})+\vec{a}\times\vec{b}=-3(\vec{a}\times\vec{b}) \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} A=3\mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{b}\mid\cdot sin\gamma=\frac{3\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

edit: der notation von s und t angepaßt.
edit 2: cos => sin ausgebessert, dank an klarsoweit

21.09.2007, 14:44

Matze^

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Ich finde eigentlich diese Variante am einfachsten und möchte gerne dabei bleiben:

Zitat:

"Dann müßte b(0; 0.5) sein -> Das eingesetz bedeutet
s=(1;0)+2*(0; 0.5) s=(1;1)
t=2*(1;0)+(0; 0.5) t=(2; 0.5) -> Nun die beiden Beträge mit dem Winkel multiplizieren

A= 1,936 FE"

Es wäre nett, wenn mir nun noch jmd. erklären könnte wo mein Fehler im Vektor b ist und wie ich es richtig machen müßte.

21.09.2007, 14:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} A=3\mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{b}\mid\cdot cos\gamma=\frac{3\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Es ist nur
$\begin{eqnarray*} A=3\mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{b}\mid\cdot sin(\gamma)=\frac{3\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Und wir wollen auch nicht das nicht vergessen:
Prinzip "Mathe online verstehen!"

21.09.2007, 14:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Matze^
Es wäre nett, wenn mir nun noch jmd. erklären könnte wo mein Fehler im Vektor b ist und wie ich es richtig machen müßte.

Am besten machst du dir mal eine Skizze.
Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist, dann kann nicht sein, daß $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist. Erstens hat der nicht die Länge 1 und zweitens steht er senkrecht auf Vektor a, bildet also nicht den geforderten Winkel von 60 Grad. Das sagte ich aber oben schon.

Wie man am Einheitskreis leicht sieht, ist:
$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} cos(60°) \\ sin(60°) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Vorschlag von riwe ist aber noch am besten. (Auch wenn es mich fürchterlich ärgert, daß er hier eine vollständige Lösung präsentiert. geschockt

)

21.09.2007, 14:54

riwe

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} A=3\mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{b}\mid\cdot cos\gamma=\frac{3\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Es ist nur
$\begin{eqnarray*} A=3\mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{b}\mid\cdot sin(\gamma)=\frac{3\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

ja danke, das ist ein versehen, soll sinus heißen, wie man am ergebnis sieht
ich werde es oben korrigieren

21.09.2007, 14:59

riwe

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Matze^
Es wäre nett, wenn mir nun noch jmd. erklären könnte wo mein Fehler im Vektor b ist und wie ich es richtig machen müßte.

)

das war ja auch nur, weil ihr diesen weg ohnedies nie im auge hattet.
bei "meinem" weg sind eben die einzelnen komponenten der beiden vektoren nicht von belang, und das ist das schöne und einfache daran.

21.09.2007, 15:01

Matze^

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Diese Lösung funktioniert aber nur unter einem Winkel von 60° oder sehe ich das falsch? Ich meine soetwas wie eine Allgemeinlösung (Lsg: riwe) Weil er jetzt nichts eingesetzt hat.

21.09.2007, 15:11

klarsoweit

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Die Lösung von riwe funktioniert immer. Er hat alle bekannten Vorgaben eingesetzt. Auch den Winkel, der in seiner Lösung mit gamma bezeichnet wird.

21.09.2007, 15:17

Matze^

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Verstehe, vielen Dank für eure Hilfe und Geduld.

MfG matze^

22.09.2007, 11:27

Zellerli

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Zitat:

Verstehe, vielen Dank für eure Hilfe und Geduld.

Verstehst du es wirklich? Dann ist gut.
Wenn nicht, dann ist dir keiner böse, wenn du Rückfragen stellst und es genauer erklärt haben willst. Wir wollen dir helfen die Aufgabe zu verstehen und zu lösen und wir haben auch weiterhin Geduld Augenzwinkern

Ansonsten noch als Tipp von mir:

Mache dir immer eine Skizze. Und das mit dem Einheitskreis (sofern du dich damit auskennst, wenn nicht frage nach!) von klarsoweit ist hier eine sehr anschauliche Lösung um einen Einheitsvektor mit 60° auf einen anderen zu konstruieren.

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