letzter tip: ungleichung von bernoulli

22.09.2007, 01:24

marci_

letzter tip: ungleichung von bernoulli

hallo!
ich weiß, die ungleichung von bernoulli kam schon sehr oft hier vor, aber mir fehlt bloß ein schritt zum verständnis der vollständigen induktion:

$\begin{eqnarray*} (1+h)^n>1+h*n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} h\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h\geq-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$

1. schritt: für k=2:

$\begin{eqnarray*} (1+h)^2>1+2h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+2h+h^2>1+2h \end{eqnarray*}$

2. schritt: es gilt $\begin{eqnarray*} A(k) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ es gilt auch $\begin{eqnarray*} A(k+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+h)^k>1+hk \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+h)^k*(1+h)>(1+kh)*(1+h)=1+h+kh+kh^2=1+h*(k+1)+kh^2 \end{eqnarray*}$

und dies ist ja jetzt bewiesen, aber wieso?

im 2. schritt ist mit die multiplikation mit $\begin{eqnarray*} (1+h) \end{eqnarray*}$ klar, aber wieso folgt aus dem 2. schritt, dass der dritte schritt gilt und die vollständige induktion bewiesen wurde?

vielen dank im vorraus!
gruß, marci
$\begin{eqnarray*} (1+h)^{k+1}>1+h(k+1) \end{eqnarray*}$

22.09.2007, 03:13

cst

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RE: letzter tip: ungleichung von bernoulli
Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} (1) & (1+h)^{k+1} & = \\ (2) & (1+h)^k \cdot (1+h) & > \\ (3) & (1+kh) \cdot (1+h) & = \\ (4) & 1+h+kh+kh^2 & = \\ (5) & 1+ h\cdot (k+1) + kh^2 & > \\ (6) & 1+ h\cdot (k+1) \end{eqnarray*}$

Von Zeile 2 zu 3 wurde die Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} (1+h)^k>1+kh \end{eqnarray*}$ verwendet; von Zeile 3 zu 5 ausmultpliziert und neu zusammengefasst. Im letzten Schritt (5 -> 6) wird nochmal nach unten abgeschätzt, indem $\begin{eqnarray*} kh^2 \end{eqnarray*}$ weggelassen wird. Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} kh^2 \end{eqnarray*}$ ja postiv.

Zusammengefasst steht da (Zeile 1 und 6):
$\begin{eqnarray*} (1+h)^{k+1} > 1+ h\cdot (k+1) \end{eqnarray*}$ , also genau die Induktionsbehauptung.

lg
cst

23.09.2007, 13:23

marci_

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ja, soweit hab ich das auch verstanden, aber nach unten abchätzen, wie geht das? was ist der sinn davon?

23.09.2007, 13:29

therisen

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Zitat:

Original von marci_
aber nach unten abchätzen, wie geht das? was ist der sinn davon?

Der Sinn ist, die Ungleichung für n+1 zu beweisen. Das ist ja gerade der Induktionsschritt. Wenn man das im Hinterkopf hat, ist die Abschätzung offensichtlich.

23.09.2007, 13:38

marci_

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aber was ist eine abschätzung? schätze ich die größe ab? und was bringt mir das für meinen beweis genau?

23.09.2007, 13:41

therisen

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Eine Abschätzung ist eine Ungleichung. Was dir das bringt, habe ich doch schon geschrieben: Du zeigst die Gültigkeit der Bernoulli-Ungleichung für n+1.

23.09.2007, 13:44

Duedi

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Ich weiß nicht genau, ob du jetzt nicht weißt, warum man mit vollständiger Induktion beweisen kann, dass eine Annahme stimmt, oder ob du nur den speziellen Fall mit der bernoullischen Ungleichung nicht verstehst. Ich gehe mal auf ersteres ein:
Wenn du mit n = 2 anfängst (Induktionsbeginn), dann hast du eine solide Grundlage. Danach kommt der Induktionsschritt, das heißt, es wird getestet, ob, wenn die Annahme A(n) für n gilt, die Annahme auch für n+1 gilt. Praktisch sieht das dann so aus, dass, wenn du sowohl den Induktionsbeginn, als auch den Induktionsschritt bewiesen hast, sich folgern lässt:

A(2) stimmt (bewiesen durch den Induktionsbeginn)
A(3) stimmt (bewiesen durch den Schritt von A(n) auf A(n+1), n=2)
A(4) stimmt (bew. durch Folgerung von A(3) auf A(3+1))
...
A(n+1) stimmt aufgrund von A(n) -> A(n+1)

Das ist jedenfalls das Prinzip der vollständigen Induktion

23.09.2007, 13:56

marci_

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das prinzip der vollständigen induktion hab ich verstanden, aber in diesem speziellen fall wohl nicht...

aber dadurch dass 1+h(k+1)+kh^2 > 1+h(k+1) folgt der letzte schritt?!

23.09.2007, 13:59

therisen

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RE: letzter tip: ungleichung von bernoulli
Zeigen willst du ja $\begin{eqnarray*} (1+h)^{n+1}>1+(n+1)h \end{eqnarray*}$ .

23.09.2007, 14:17

marci_

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genau, das ist mein induktionsschluss...

23.09.2007, 14:22

therisen

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Ja, und wenn man oben $\begin{eqnarray*} kh^2 \end{eqnarray*}$ wegfallen lässt, steht das da. qed.

23.09.2007, 16:08

marci_

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ok, dankeschön!

edit: kann ich so argumentieren:

$\begin{eqnarray*} (1+h)^k*(1+h) (a) >1+h+kh+kh^2 (c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1+h*(k+1)+kh^2 (c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+h)^{k+1} (a) > 1+h*(k+1) (b) \end{eqnarray*}$

und jetzt: a>c und c>b daraus folgt: a>b

das dürfte doch so stimmen?

26.09.2007, 20:31

marci_

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meinen edit hat glaub keiner gesehen, kann ich das so schreiben?

26.09.2007, 21:45

therisen

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Etwas komisch aufgeschrieben, aber stimmt schon im Prinzip.

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