Funktion herausfinden!!

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22.09.2007, 10:03	kemml	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion herausfinden!! so, folgende aufgabe: gib eine ganzrationale funktion dritten grades an, die die nullstellen x1, x2, x3 hat und deren graph durch den punkt p(0;1) geht. Notiere den funktionsterm als polynom. x1= -1 x2= 1 x3 = 4 ich hab mir gedacht, dass ich zuerst die drei nullstellen in die allgemeine form ax^3 + bx^2 + cx +d einsetzte. dabei ist d= 1 (wegen p(0;1)) das müsste man dann doch als gleichungssystem mit 3 unbekannten lösen können. hat aber irgendwie nicht richtig geklappt. vielleicht habe ich mich auch verrechnet.. oder es geht ganz anders. würde mich über lösungen freuen!
22.09.2007, 10:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht viel einfacher. Gehe von der Faktorzerlegung $\begin{eqnarray} f(x) = a \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \left( x - x_3 \right) \end{eqnarray}$ aus und bestimme $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ durch Einsetzen von $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ . Wenn du dann fertig bist, kannst du alles noch ausmultiplizieren, um die Polynomgestalt zu bekommen. Natürlich kannst du auch mit einem Gleichungssystem über den Ansatz $\begin{eqnarray} f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d \end{eqnarray}$ arbeiten. Nur ist das hier ungeschickt, da die gegebenen Werte ja Nullstellen sind. Wenn du es dennoch mit dem Gleichungssystem machen willst, geht es so: 1. Gleichung: $\begin{eqnarray} x = x_1, \, y = 0 \end{eqnarray}$ einsetzen $\begin{eqnarray} -a + b - c + d = 0 \end{eqnarray}$ Genau so mit den anderen Bedingungen: 2. Gleichung: $\begin{eqnarray} x = x_2, \, y = 0 \end{eqnarray}$ einsetzen 3. Gleichung: $\begin{eqnarray} x = x_3, \, y = 0 \end{eqnarray}$ einsetzen 4. Gleichung: $\begin{eqnarray} x = 0, \, y = 1 \end{eqnarray}$ einsetzen Du mußt dann ein lineares Gleichungssystem vom Typ 4×4 lösen. Beginne mit der 4. Gleichung. Durch Einsetzen in die anderen Gleichungen erhältst du sofort ein 3×3-System.
22.09.2007, 10:21	kemml	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, genau mit diesem 3 mal 3 system hab ichs ja versucht.. hat aber nicht geklappt.. kannst du mir das bitte mal vorrechnen??
22.09.2007, 10:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du das 3×3-System aufgestellt hast, von dem ich gesprochen habe, dann helfe ich dir weiter, wenn du es nicht lösen kannst. Also - wie lautet es?
22.09.2007, 10:31	kemml	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, aslo es lautet: -1 = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) -1 = a + b + c -1 = a(4)^3 + b(4)^2 + c(4) dann eben: -1 = -a + b - c -1 = a + b + c -1 = 64a + 16b + 4c ich weiß halt nicht mehr wei man so ein gleichungssystem mit 3 unbekannten gut löst...
22.09.2007, 10:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da bietet sich der Gaußsche Algorithmus an. Wenn die Zahlen nicht zu kompliziert sind (wie hier), geht es aber auch so ganz gut: Löse zum Beispiel die erste Gleichung nach $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ auf und setze das Ergebnis in die zweite und dritte Gleichung ein. So bekommst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ . Und dann wiederholst du das Verfahren, um eine Gleichung mit einer Unbekannten zu bekommen. Dann rückwärts einsetzen, um die anderen Unbekannten zu bestimmen. Im übrigen empfehle ich noch einmal das Verfahren, das ich am Eingang meines ersten Beitrags vorgeschlagen habe.
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22.09.2007, 10:44	kemml	Auf diesen Beitrag antworten »
okey, ich hab die lösung.. war gar nicht schwer! f(x) = 0.25x^3 -x^2 -0.25x +1 aber deinen lösungsansatz von oben, den habe ich überhauptnicht verstanden.. wie kommt man denn da auf die lösung?
22.09.2007, 10:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht um den Begriff der Nullstelle. Immer wenn man eine Nullstelle $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ eines Polynoms kennt, kann man den Linearfaktor $\begin{eqnarray} x - x_1 \end{eqnarray}$ abspalten: $\begin{eqnarray} f(x) = \left( x - x_1 \right) \cdot g(x) \end{eqnarray}$ Und hierbei ist $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ wieder ein Polynom mit einem um 1 kleineren Grad. Wenn man noch weitere Nullstellen kennt, kann man das Verfahren wiederholen. In dieser Aufgabe hast du ein Polynom vom Grade 3 mit 3 vorgegebenen Nullstellen. Dann muß man also drei Linearfaktoren abspalten können, und es kann nur noch ein Faktor vom Grade 0, sprich: eine Konstante $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , übrig bleiben. Mit anderen Worten - es muß möglich sein, $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ so zu schreiben: $\begin{eqnarray} f(x) = a(x+1)(x-1)(x-4) \end{eqnarray}$ Und wenn du hier $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ einsetzt, erhältst du mit der letzten Bedingung $\begin{eqnarray} 1 = a\cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-4) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} a = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ . Somit ist $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{4} (x+1)(x-1)(x-4) \end{eqnarray}$ die gesuchte Funktion, allerdings in faktorisierter Darstellung. Wenn du das ausmultiplizierst, müßt dein Ergebnis herauskommen. Du kannst es ja einmal ausprobieren.
22.09.2007, 12:40	kemml	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das hab ich jetzt verstanden. danke für die erklärung!!

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