rang-Ungleichung

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phi Auf diesen Beitrag antworten »
rang-Ungleichung
Hallo alle,

Ich hab hier eine interessante Aufgabe in Jänich´s LA gefunden die ich irgendwie faszinierend finde, aber bei der Lösung nicht vorankomme:

Beweise dass für A,B element aus M(nxn, K) gilt:

rg A + rg B - n < rg AB < min(rg A, rg B).


O.k, wir wissen das der Rang gleich der Dimension des Bildes ist und dass

dim Kern f + rg f = n ist. Also kann man die Behauptung umformen in

rg A - dim Kern B < rg Ab < min(rg A, rg B)...

Kann mir jemand nen Tip geben?

Danke im Vorraus, Dave.
Zitat:
In der Jugend sind alle Gedanken bei der Liebe, im Alter alle Liebe bei den Gedanken. A. Einstein.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussagen sind, so wie sie da stehen, falsch! Aber vielleicht meinst du ja jeweils "kleiner gleich" statt "kleiner" - dann stimmt es.

Die rechte Ungleichung rg AB <= min(rg A, rg B) kannst du direkt nachweisen, indem du AB als Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen ansiehst!

Und die linke Ungleichung ist unter Nutzung der von dir bereits angeführten Kerndarstellung äquivalent zu dim Kern A + dim Kern B >= dim Kern AB .
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern
Danke,

Bin noch nicht dazu gekommen es mir in Ruhe anzuschauen. Melde mich falls ich noch fragen habe.

phi
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