Monotonie Beweis - Seite 2

22.09.2007, 20:03

therisen

Wieso schreibst du eigentlich den Nenner immer mit ab? Den kannst du ja jetzt vergessen.

Der linke Zähler stimmt übrigens nicht (es kommt z.B. keine vierte Potenz vor).

22.09.2007, 20:08

Musti

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Mit der linken Seite bin ich einverstanden, mit der rechten nicht.

Es muss ja so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n^2+2)\cdot (2n+2)}{4n^2+4n}< \frac{(n^2+2n+3)\cdot 2n}{4n^2+4n}= \frac{2n^3+2n^2+4n+4}{4n^2+4n}< \frac{\text{? }}{4n^2+4n} \end{eqnarray*}$

@Therisen

Ist die linke Seite wirklich falsch?

22.09.2007, 20:12

therisen

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Sorry, hatte mich in dem Chaos hier verguckt. Die linke Seite stimmt. Wink

23.09.2007, 10:16

Monika12

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gekürzt:
$\begin{eqnarray*} 4n+2*(n)^2+4 < (2n)^2 +6n \end{eqnarray*}$

ich hoffe das ist richtig nur ich bekomme die N's nicht weg...

23.09.2007, 10:35

Bjoern1982

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Fasse doch noch weiter zusammen, so dass auf einer Seite der Ungleichung nur noch null steht. Dann faktorisiere den entstehenden quadratischen Term und folgere wann ein Produkt positiv werden kann.

Gruß Björn

23.09.2007, 16:31

Monika12

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So ich habs jetzt nochmal anders:

$\begin{eqnarray*} 2*n^2+4n+4 < (2n)^2+6 \end{eqnarray*}$

und das jetz auf eine Seite Bringen?

23.09.2007, 16:35

Monika12

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Argh...ich bekomms nicht hin!

23.09.2007, 18:12

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 4n+2*(n)^2+4 < (2n)^2 +6n \end{eqnarray*}$

Diese Ungleichung von dir stimmt schon...schreibe es noch so um:

4n+2n²+4 < 4n²+6n

Joa und dann eben alles auf eine Seite bringen und versuchen zu faktorisieren, genauso als wenn du nach n auflösen wolltest bei einer Gleichung...

Wo hängst du denn genau ?

Gruß Björn

23.09.2007, 18:14

Monika12

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wie kommst du denn auf 4n^2?

23.09.2007, 18:15

Bjoern1982

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(2n)²=2²*n²=4n²

23.09.2007, 18:21

Monika12

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stimmt sorry ^

23.09.2007, 18:24

Monika12

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wenn ich das jetzt so schreibe:
$\begin{eqnarray*} -2n-2n^2+4 < 0 \end{eqnarray*}$

kann ich doch nix weiter machen oder?

23.09.2007, 18:30

Bjoern1982

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Jetzt hast du alles auf eine Seite gebracht. Danach musst du die linke Seite faktorisieren. Ersetze vielleicht erstmal das Kleiner-Zeichen durch ein Gleichheitszeichen und berechne die Nullstellen oder in anderen Worten: Löse die quadratische Gleichung (oder faktorisiere direkt durch den Satz von Vieta, falls dir dieser etwas sagt)

Wenn du auf die beiden Lösungen n1 und n2 der Gleichung gekommen bist gillt: (x-n1)(x-n2)=0 bzw dann auch (x-n1)(x-n2)<0

Versuche mal bis dahin zu kommen.

Björn

23.09.2007, 18:34

Monika12

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-2
und 1
kann das Sien? Nur wie es weiter geht habe ich ncoh nicht ganz verstanden. Das hatten wir noch nie.

23.09.2007, 18:39

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} -2n-2n^2+4 < 0 \end{eqnarray*}$

Ok, dann bringe diese Ungleichung mal auf Normalform indem du sie durch -2 dividierst und ersetze dann die linke Seite durch meine oben genannte Faktorisierung.

23.09.2007, 18:46

Monika12

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$\begin{eqnarray*} -2n-2n^2+4 < 0 \end{eqnarray*}$

ertsmal durch -2

$\begin{eqnarray*} n^2+n+4 = 0 \end{eqnarray*}$

welche Faktorisierung meinst du?

23.09.2007, 18:47

Monika12

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-2=0

23.09.2007, 18:48

Monika12

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kommt da -1 am Ende Raus?

23.09.2007, 18:56

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} -2n-2n^2+4 < 0 \end{eqnarray*}$

Wenn du das durch -2 dividierst kommt was anderes raus...und denk daran dass sich das Kleiner-Zeichen bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl ändert.

Diese Faktorisierung meine ich...aber also Ungleichung bitte Augenzwinkern

Zitat:

Wenn du auf die beiden Lösungen n1 und n2 der Gleichung gekommen bist gillt: (x-n1)(x-n2)=0 bzw dann auch (x-n1)(x-n2)<0

23.09.2007, 19:01

Monika12

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was habe ich denn hier falsch gemacht?

$\begin{eqnarray*} n^2+n-2 = 0 \end{eqnarray*}$

23.09.2007, 19:04

Bjoern1982

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Da steht doch jetzt was anderes als bei dir oben.
Und jetzt noch als Ungleichung. Und dann die linke Seite durch die beiden Faktoren (x-n1) bzw (x-n2) ersetzen.

23.09.2007, 19:07

Monika12

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a ich hatte mich verschrieben und im nächsten Post korrigiert.

Also als Lösung erhalte ich wie gesagt -2 und 1 und durch das Faktorisieren auf -1<0

23.09.2007, 19:12

Bjoern1982

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Ich glaube wir reden aneinander vorbei Augenzwinkern

Deine Lösung n1=-2 und n2=1 sind richtig.
Das war aber nur eine Vorarbeit um die Ungleichung $\begin{eqnarray*} -2n-2n^2+4 < 0 \end{eqnarray*}$ zu faktrosieren, sobald man sie auf Normalform gebracht hat.
Durch das Faktorisieren entsteht dann ein Produkt und man kann dann leicht herausfinden wie man die Ungleichung löst...ein anderer Weg führt noch über das Lösen einer entsprechenden Betragsungleichung, aber ich weiss nicht ob ihr das schon hattet.

Lies die letzten Posts nochmal genau durch und versuche die faktorisierte Ungleichung aufzustellen.

Bin in 15-20 min wieder da Wink

23.09.2007, 19:19

Monika12

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also ich weis nicht ganz was ich jetzt machen soll. Das hatten wir so leider auch noch nicht. Wie soll ich den Die Linke Seite durch den Faktor ersetzen?

23.09.2007, 19:19

Musti

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Monika wie wäre es wenn du dich registrierst, dann müsstest du nämlich nicht andauernd neue Posts erstellen und könntest editieren. Dies trägt dazu bei, dass kein durcheinander zustande kommt.
Außerdem schreckt diese Unordnung einige Helfer zurück zu helfen.

Also mein Tipp: Anmelden smile

23.09.2007, 19:36

Bjoern1982

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Es geht um das Lösen dieser Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} -2n-2n^2+4 < 0 \end{eqnarray*}$

1. Wie lautet die Ungleichung in Normalform, also wenn die Ungleichung die Form n²+pn+q hat ?

2. Man kann sich den Graphen dieser Funktion auch als Parabel vorstellen und man kann jetzt untersuchen in welchem Bereich auf der x-Achse die Parabel oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft. Dazu benötigt man die Schnittstellen mit der x-Achse (falls welche vorhanden sind). Diese hast du berechnet indem du die entsprechende Gleichung gelöst hast.

3. Nun kannst du die linke Seite der Ungleichung aus 1) auch so schreiben: (x-n1)*(x-n2), du musst dann nur noch die Schnittstellen für n1 und n2 einsetzen.

4. Jetzt muss man sich überlegen wann das entstehende Produkt größer oder kleiner als null werden kann.

23.09.2007, 19:42

Monika12

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$\begin{eqnarray*} (x-2)*(x+1) < 0 \end{eqnarray*}$

da muss $\begin{eqnarray*} x\leq 2 \end{eqnarray*}$ sein.
Ist das so richtig?

23.09.2007, 19:43

system-agent

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wann wird denn ein produkt negativ? die beiden faktoren brauchen unterschiedliches vorzeichen, also dann schaue wann zb $\begin{eqnarray*} (x-3)<0 \end{eqnarray*}$ und gleichzeitig $\begin{eqnarray*} x+1>0 \end{eqnarray*}$ und umgekehrt gilt

23.09.2007, 19:47

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (x-2)*(x+1) < 0 \end{eqnarray*}$

Das stimmt noch nicht...warum habe ich schon erwähnt Augenzwinkern

Das musst du selbst nachlesen.

23.09.2007, 19:56

Monika12

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$\begin{eqnarray*} (x+2)*(x-1) < 0 \end{eqnarray*}$ ?

23.09.2007, 20:03

Bjoern1982

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Schau in meinen Post von 18:56

23.09.2007, 20:06

Monika12

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Zitat:

Wenn du auf die beiden Lösungen n1 und n2 der Gleichung gekommen bist gillt: (x-n1)(x-n2)=0 bzw dann auch (x-n1)(x-n2)<0

[/quote]

das habe ich doch oder meinst du das sich das Zeichen dreht?

23.09.2007, 20:14

Bjoern1982

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Ja, das Zeichen muss sich drehen weil man durch eine negative Zahl dividiert hat als man die Normalform erstellt hat.

23.09.2007, 20:18

Monika12

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also

$\begin{eqnarray*} (x+2)*(x-1) > 0 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$

23.09.2007, 20:22

Bjoern1982

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23.09.2007, 20:24

Monika12

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und wars das jetzt oder kommt da noch was dazu? und woher weis ich das ich genau diese Faktorisierung nehmen muss? Und woher kommt diese?

23.09.2007, 21:06

Bjoern1982

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Naja...du musst schon noch eine Schlussfolgerung daraus ziehen.
Du bist vom Ansatz $\begin{eqnarray*} a_n < a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ausgegangen und hast das dann zu einer wahren Aussage geführt für bestimmt Werte für n.
Welche Art der Monotonie liegt also vor ?

Diese Faktorisierung ergibt sich bei jeder quadratischen (Un)gleichung.
Immer erst quasi die Nullstellen der Funktion bestimmen und dann die entsprechende Faktorisierung benutzen um nachher die in Frage kommenden Intervalle für n rauszukriegen, also ab welchem n eine Folge wächst oder fällt.
Das ist dann eine Möglichkeit solche Ungleichungen zu lösen.
Bei linearen Ungleichung geht es um einiges schneller aber hier hat sich eben mal eine quadratische Ungleichung ergeben.

Ich hoffe du konntest das einigermaßen nachollziehen.
Wenn es noch Fragen gibt melde dich einfach.
Ich schau morgen nochmal rein.

Schönen Abend Wink

Gruß Björn

23.09.2007, 21:13

Monika12

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also die Folge ist Monoton Steigend. und wächst für alle n > 1

23.09.2007, 21:20

Bjoern1982

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Streng monoton steigend ---> siehe hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Monotonie_%...29#Definitionen

23.09.2007, 21:23

Monika12

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das wollt ich erst schreiben, aber dann habe ich noch mal in meinen Rechner geschaut und der zeigt mi für n=1 und n=2 1.5 an.

Keine Ahnung was da los ist...

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