Extremwertberechnung in einer e-Funktion [War: abiprüfung 1986 grundkurs]

22.09.2007, 16:33

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

Extremwertberechnung in einer e-Funktion [War: abiprüfung 1986 grundkurs]

hi also wir haben diese aufgabe als hausaufgabe aufbekommen. komm auch eigentlich gut voran nur bei c häng ich irgendwie. also hier erst mal die aufgabe:

gegeben ist die Funktion f durch

$\begin{eqnarray*} f(x) = ex+ e^{-x} \end{eqnarray*}$
Ihr Schaubild sei K.

a) Untersuche K auf Hoch-, TIef- und Wendepunkte sowie auf Asymptoten.

also ich hab dann die Funktion abgeleitet: [/color]
$\begin{eqnarray*} f'(x) = e - e^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=e^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-e^{-x} \end{eqnarray*}$

dann hab ich für die Extrempunkte nur einen Tiefpunkt und zwar bei (-1/0)
Wendepunkte gibts keine da e^{-x} $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 .
und ich habe eine schiefe asymptote raus nämlich
$\begin{eqnarray*} f(x)=ex \end{eqnarray*}$ [/COLOR]
b)[/color]Die Kurve K, ihre Asymptote und die Geraden x=-1 und x=u (u>0) schließen eine Fläche ein. [/color]
Berechne ihren Inhalt A(u) und $\begin{eqnarray*} \lim_{u \to \infty } A(u) \end{eqnarray*}$

da habe ich dann für $\begin{eqnarray*} A(u)=-e^{-u}+e \end{eqnarray*}$ raus bekommen und bei $\begin{eqnarray*} \lim_{u \to \infty } A(u) \end{eqnarray*}$ => e

Also das war bisher kein problem aber jetzt:

c) die Gerade x=t mit t>0 schneidet K in P und die Gerade $\begin{eqnarray*} y=ex \end{eqnarray*}$ in Q. Für welches t nimmt der Flächeninhalt des Dreicecks OQP einen Extremwert an? Weise nach, dass es sich dabei um ein Maximum handelt.

wie ich vorgehen sollte weiß ich: ich brauch den Flächeninhalt des Dreicecks und dann einfach ableiten mit nur einer unbekannten und beweisen dass es ein maximum hat, aber ich komm nicht auf den flächeninhalt!

Ich hoff es ist verständlich und mir kann jemand helfen, auch wenn der text so lang ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Latex verbessert (Zeilenschaltungen entfernt) (klarsoweit)

22.09.2007, 16:35

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: abiprüfung 1986 grundkurs
Ich hab noch nicht alles durchgeguckt, aber deine Ableitungen sind schon falsch.

Vorallem bin ich verunsichert, ob du die Funktion richtig aufgeschrieben hast verwirrt

verwirrt

22.09.2007, 16:39

Tobias

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein hat er nicht.

Für Exponenten, die aus mehreren zeichen bestehen wie in $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ bitte den Exponenten in Latex in geschweifte Klammer setzen:

code:
1:	e^{-x}

Wenn du das verbessert hast betrachte deine Ableitungen nochmal.

22.09.2007, 16:59

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ja stimmt die erste abletungen stimmt irgendwie net...toll *g* ich probiers gleich nochmal

aber jetzt müsste es stimmen oder?

22.09.2007, 19:16

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: abiprüfung 1986 grundkurs
Ja. Besser wäre es, die korrigierten Ableitungen in einen eigenen beitrag zu schreiben. Das erhöht die Nachvollziehbarkeit der ganzen Beiträge.

Zitat:

Original von cleo17
... aber ich komm nicht auf den flächeninhalt! [/COLOR]

Du mußt die Grundseite des Dreiecks geschickt wählen. Da hast du eh nur 3 Möglichkeiten. Überlege dir, welche Variante am besten ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.09.2007, 09:55

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

guten morgen,

hmm...irgendwie steh ich auf dem schlauch, weiß nämlich echt nicht wie ich die punkte am besten wähle...
kann OQ die grundseite sein? aber wie komm ich dann auf die höhe?

Anzeige

23.09.2007, 10:07

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen

Nein, das ist keine gute Wahl...hast du dir mal eine Skizze zum Sachverhalt gemacht bzw hast du eine Vorstellung davon welche besondere Lage zumindest 2 Dieser Punkte haben (P und Q) ?

Gruß Björn

23.09.2007, 10:22

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ne skizze hab ich vor mir
liegt P auf der y-achse? also P(0/t)?
gruß

23.09.2007, 10:25

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Verdeutlichung:

und füge noch die senkrechte Gerade x = t ein, die Schnittpunkte P und Q liegen auf dieser ... -> deren x-Koordinate ist t

mY+

23.09.2007, 10:28

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok jetzt hab ichs geblickt wo p und q liegen. danke ich probiers mal aus dass ich den flächeninhalt bekomm

23.09.2007, 10:30

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

also die grundseite wär dann OP oder? und die höhe? die Strecke PQ?

23.09.2007, 10:36

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

OP ist leider auch keine gute Wahl...

Nenne doch mal die Koordinaten von P und Q, dann kann man sehen ob du wirklich weisst wo die Punkte liegen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit:

Und sage uns dann welche besondere Lage die Punkte haben.

Björn

23.09.2007, 10:40

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

P(t/f(t)) oder? und Q ( t/e*t) hoff es stimmt ^^

23.09.2007, 10:42

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau

Freude

Und wie liegen diese Punkte nun zueinander ?

23.09.2007, 10:43

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

naja was meinst damit? sie liegen beide auf einer geraden. ist das dann die grundseite? danke dass du mir hilfst smile

smile

23.09.2007, 10:45

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau...sie liegen auf einer Geraden...einer ganz speziellen Geraden...einer zur y-Achse parallelen Geraden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sag doch mal was mit rechts, links, oben oder unten bezüglich der Lage von P und Q smile

smile

23.09.2007, 10:46

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

also sie liegen rechts von der y-achse und p lieg über q.

23.09.2007, 10:48

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wollt ich hören Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also dass sie übereinander liegen ist doch schonmal schön, denn damit fällt es besonders leicht die Länge der Seite PQ zu bestimmen. Kannst du dir vorstellen warum das angenehmer ist anstatt die Länge von OQ oder OP zu bestimmen ?

23.09.2007, 10:49

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

warum es angenehmer ist? hmm...ehrlich gesagt net... fliegt da vielleicht was raus?

23.09.2007, 10:51

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, dass ich mich einmische, aber vielleicht geht dir so ein licht auf Augenzwinkern

Augenzwinkern

wie lang ist denn die strecke AB mit A(0|1) und B(0|5) ?

23.09.2007, 10:52

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau...da fällt was weg...probiere es mal aus.

Weisst du wie man die Länge einer Strecke berechnet ?

23.09.2007, 10:56

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

glaub schon also dann hab ich für die strecke $\begin{eqnarray*} e^{-t} \end{eqnarray*}$ kann das sein?

23.09.2007, 10:57

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Jetzt fehlt nur noch die Höhe, kriegst du das hin ?

23.09.2007, 11:00

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

na endlich *g* also das ist dann die grundseite? gut dann müsste ich die höhe doch mit ner formel rausbekommen oder? ist es die: h=p*q?

23.09.2007, 11:03

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, leider nicht.
Falls du auf den Höhensatz des Euklid anspielst, der gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

Die Tatsache dass P und Q übereinander liegen begünstigen zudem noch eine ganz einfache Bestimmung der Höhe, denn diese fällt ja genau senkrecht zu der Grundseite, also hier senkrecht zu PQ. Kannst du dir bildhaft vorstellen wie die Höhe verläuft ?

23.09.2007, 11:04

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

ja kann ich

23.09.2007, 11:07

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

ist die höhe die strecke Ot?

23.09.2007, 11:07

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Entfernung könnte also mit der Höhe gemeint sein ?
Betrachte genau den entsprechenden Abschnitt auf der x-AChse.

Edit:

Was meinst du genau mit Ot ? null mal t ? Oder die Entfernung vom Ursprung zu t ?

23.09.2007, 11:10

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

die entfernung vom ursprung zu t

23.09.2007, 11:11

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau...und wie lang ist diese Strecke ?

23.09.2007, 11:11

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

t?

23.09.2007, 11:12

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Geschafft

smile

Ist jetzt klar wie es weiter geht ?

23.09.2007, 11:13

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

ja danke. also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ PQ*t oder?

23.09.2007, 11:15

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, dadurch erhälst du dann eine Funktion, die den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von t beschreibt.

Kannst ja mal posten was du rauskriegst wenn du fertig bist smile

smile

23.09.2007, 11:16

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Zunge

mach ich vielen dank

23.09.2007, 11:17

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen Wink

Wink

Wir können dann vergleichen weil ich das gestern noch irgendwo auf nem Schmierblatt stehen habe was ich rausbekommen hab Big Laugh

Big Laugh

BJörn

23.09.2007, 11:26

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

ist dann A(t)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} e^{-t} \end{eqnarray*}$ *t

die Ableitung wär dann: $\begin{eqnarray*} A'(t)= -\frac{1}{2} e^{-t} \cdot t + \frac{1}{2} e^{-t} \end{eqnarray*}$

dann muss ich ja nurnoch die ableitung null setzen. aber dann bekomm ich für t=1 raus kann das stimmen?

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

23.09.2007, 11:26

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

dieses *t soll das mal sein, also keine hochzahl *g*

23.09.2007, 11:28

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hab hier auch t=1 stehen smile

smile

23.09.2007, 11:29

cleo17

Auf diesen Beitrag antworten »

na gott sei dank *g*. also danke nochmal

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »