Geometrische Folge:

22.09.2007, 15:07

Cashflow

Geometrische Folge:

Hallo ich würde mich freuen, wenn mir jemand zu folgender Aufgabe helfen könnte:

"In einem Betrieb ist ein Umsatzrückgang von 2,5 % pro Jahr zu beobachten. Nach wieviel Jahren ist der Umsatz auf 85 % zurückgegangen? Anleitung: Gehen Sie von einem JAhresanfangsumsatz von 100.000 aus und versuchen Sie dann, eine allgemeine Formel zu finden.

Die Lösung ist: ln 0,85 / ln 0,975

Könnte mir jemand bitte Anleitung geben, wie ich da hin komme?

Vielen Dank.

22.09.2007, 16:54

tigerbine

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RE: Geometrische Folge:
Also nehmen wir einmal die Beispieldaten

$\begin{eqnarray*} U_0 = 100.000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_k=0.85 \cdot U_0 = 85.000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p = 0.025 \end{eqnarray*}$

Wie wievele Jahre dauert es also? Na das probieren wir doch einfach mal von Hand aus. Mit was muss man denn $\begin{eqnarray*} U_0 \end{eqnarray*}$ multiplizieren, um dem Umsatz nach einem Jahr zu erhalten?

Idee!

richtig, mit $\begin{eqnarray*} q = 1-p = 0.975 \end{eqnarray*}$

Aufgabe für dich:

Rechne mal von Hand die Anzahl der Jahre k aus.
Na, genervt, weil Du immer das gleiche machen musst. Gut so, dann stelle doch mal eine Formel auf.
Diese Formel können wir dann gemeinsam nach k umstellen

23.09.2007, 10:18

Cashflow

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Also wenn ich das von Hand ausrechne, dann komme ich auf 5-6 Jahre! Ich bin mir auch nicht sicher was das ln bedeutet?

Die Formel müsste doch die aus der Formelsammlung für eine geometrische Folge sein, oder?

An = A1 * q^n-1?

Aber das Problem ist doch das ich An nicht habe, weil ich ja auch n nicht habe?

U0 * q * n = U0-Uk

da fehlt aber noch die Komopnente wie ich reinkriege das die 0,975 immer nur vom letzten Jahr gerechnet werden.

23.09.2007, 12:31

tigerbine

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Wenn Du die Lösung nicht angegeben hättest, würdest Du wohl zunächst kaum auf die Idee kommen die Jahreszahl als ln schreiben zu wollen.

Des weiteren solltest Du nicht einfach in der Formelsammlung rumsuchen (obwohl blicke in FS sonst schon ok sind), sondern hier einmal selber überlegen. Lies noch einmal meine Beispieldaten und Bezeichnungen, dann ist diese Aussage

Zitat:

Aber das Problem ist doch das ich An nicht habe, weil ich ja auch n nicht habe?

nicht mehr haltbar.

23.09.2007, 17:25

Cashflow

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Könntes Du mir sagen was das ln eigentlich bedeutet?

Also die Formel wäre dann wohl:

15.000 = 100000 * 0,025^n

oder?

23.09.2007, 18:28

tigerbine

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Liest du eigentlich was is für dich schreibe?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} U_0 = 100~000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_k=0.85 \cdot U_0 = 85~000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p = 0.025 \end{eqnarray*}$

Wie wievele Jahre dauert es also? Na das probieren wir doch einfach mal von Hand aus. Mit was muss man denn $\begin{eqnarray*} U_0 \end{eqnarray*}$ multiplizieren, um dem Umsatz nach einem Jahr zu erhalten?

Idee! richtig, mit $\begin{eqnarray*} q = 1-p = 0.975 \end{eqnarray*}$

Daher gilt wohl

$\begin{eqnarray*} U_k = U_0 \cdot 0.975^k = 85~000 \end{eqnarray*}$

ln ist der Logarithmus zur Basis e. http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus

Hier gilt es nämlich eine Exponentialgleichung zu lösen.

$\begin{eqnarray*} 100~000 \cdot 0.975^k = 85~000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.975^k = 0.85 \end{eqnarray*}$

Wie löst man das nun? Siehe link.
$\begin{eqnarray*} k \cdot \ln(0.975) = \ln(0.85) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = \frac{\ln(0.85)}{\ln(0.975)} \end{eqnarray*}$

24.09.2007, 13:14

Cashflow

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Vielen Dank Tigerbiene!! Wink

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