Aufgabe zur Reihenentwicklung gesucht (Taylorreihe m. 2 Variablen)

22.09.2007, 17:49

Milkaschokolade

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Aufgabe zur Reihenentwicklung gesucht (Taylorreihe m. 2 Variablen)

Hallo,

ich suche dringend Aufgaben zur Reihenentwicklung mit zwei Variablen, bei denen ich die Taylor'sche Formel für 2 Variable anwenden kann.

Wo könnt ich solche Aufgaben finden? Habe meine Bücher schon durchgeschaut, aber da sind keine und die Übungsaufgaben vom Prof. hab ich auch schon gemacht...

22.09.2007, 17:51

therisen

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Hallo,

schau mal hier.

Gruß, therisen

22.09.2007, 17:52

Milkaschokolade

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Wow, danke

22.09.2007, 18:59

Milkaschokolade

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Schade, die Lösungen dürfen bestimmt nur Studenten der Uni Stuttgart anschauen, oder?

22.09.2007, 19:03

therisen

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Ja, ich habe jedenfalls keinen Zugriff Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber du kannst deine Lösungen ja auch hier posten (mit Rechenweg) und kontrollieren lassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.09.2007, 19:40

Milkaschokolade

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Naja Rechenweg gibts da ja nicht so wirklich aber ich habe folgende Aufgabe gemacht: Aufgabe

Und folgende Formel verwendet:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=f(x_{0}, y_{0})+\frac{1}{1!}((x-x_{0})f_{x}(x_{0}, y_{0})+(y-y_{0})f_{y}(x_{0}, y_{0})+\frac{1}{2!}((x-x_{0})^2f_{xx}(x_{0}, y_{0})+2(x-x_{0})(y-y_{0})f_{xy}(x_{0}, y_{0})+(y-y_{0})^2f_{yy}(x_{0},y_0)) \end{eqnarray*}$

Meine Ableitungen lauten:

$\begin{eqnarray*} f_x=\frac{-yx-y^2-x^2+y}{(x+y)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_y=\frac{x^2+y^2}{(x+y)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{xx}=\frac{-3y-2x+2yx+2y^2+2x^2}{(x+y)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{xy}=\frac{x^2-xy+x-y}{(x+y)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{yy}=\frac{2xy-2x^2}{(x+y)^3} \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis ist:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{1}{16}x^2-\frac{5}{8}x+0,5y+ \frac{1}{16} \end{eqnarray*}$

Wenn sich einer die Mühe machen möchte das auszurechnen - bitte. Aber muss nicht sein, ich hab ja (hoffentlich) verstanden wie es funktionert. Nur bei dem Restglied bin ich mir noch nicht so sicher, aber das war in der Aufgabe ja nicht gefordert.

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22.09.2007, 19:55

therisen

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Hallo,

deine Ableitungen stimmen nicht. Zum Beispiel gilt

$\begin{eqnarray*} \partial_xf(x,y)=\frac{2y}{(x+y)^2} \end{eqnarray*}$

denn $\begin{eqnarray*} f(x,y)=1-\frac{2y}{x+y} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

22.09.2007, 23:28

Milkaschokolade

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Oh Mann ich hasse meine Fehler.

Naja jetzt hab ich als Ergebnis
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=-0,25x^2+x-y+0,25y^2 \end{eqnarray*}$ raus. Das sieht richtiger aus finde ich.

23.09.2007, 09:26

system-agent

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hätte da noch eine frage aus der mündlichen prüfung:
er wollte eine (gute, von hand machbare) näherung von
$\begin{eqnarray*} 1.05^{1.02} \end{eqnarray*}$

23.09.2007, 10:33

Milkaschokolade

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Keine Ahnung wie sowas funktioniert...

23.09.2007, 11:09

therisen

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Ja, jetzt stimmt dein Ergebnis. Allerdings würde ich es nicht ausmultiplizieren und vereinfachen, denn dadurch geht Struktur verloren.

Zur guten Approximation von $\begin{eqnarray*} x^y \end{eqnarray*}$ bestimmt man das Taylor-Polynom 2. Ordnung im Punkt (1,1) und setzt anschließend ein. Das ergibt als Näherung $\begin{eqnarray*} 1.05^{1.02} \approx 1.0510 \end{eqnarray*}$ (die ersten 4 Nachkommastellen stimmen).

Gruß, therisen

23.09.2007, 11:47

Milkaschokolade

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Also ich nehme $\begin{eqnarray*} x^y \end{eqnarray*}$ als meine Ausgangsfunktion, die ich nähern will?

Und ich fange bei $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)=(1,1) \end{eqnarray*}$ an, weil diese Werte im Bereich von $\begin{eqnarray*} 1,05 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1,02 \end{eqnarray*}$ liegen? Oder warum wir gerade dieser Startpunkt genommen?

Was ist denn $\begin{eqnarray*} f_y(x^y) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} f_x(x^y) = yx^{y-1} \end{eqnarray*}$ , oder?

23.09.2007, 11:55

therisen

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Zitat:

Original von Milkaschokolade
Also ich nehme $\begin{eqnarray*} x^y \end{eqnarray*}$ als meine Ausgangsfunktion, die ich nähern will?

Und ich fange bei $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)=(1,1) \end{eqnarray*}$ an, weil diese Werte im Bereich von $\begin{eqnarray*} 1,05 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1,02 \end{eqnarray*}$ liegen? Oder warum wir gerade dieser Startpunkt genommen?

Zweimal ja. Das liegt an der qualitativen Eigenschaft eines Taylor-Polynoms p-ter Ordnung, d.h. für das Restglied gilt $\begin{eqnarray*} o(\|(x,y)-(1,1)\|^p) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Milkaschokolade
Was ist denn $\begin{eqnarray*} f_y(x^y) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} f_x(x^y) = yx^{y-1} \end{eqnarray*}$ , oder?

Ja.

23.09.2007, 12:04

Milkaschokolade

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Zitat:

Original von Milkaschokolade
Was ist denn $\begin{eqnarray*} f_y(x^y) \end{eqnarray*}$ ?

verwirrt

Hilfe

Tränen

Sorry, aber vilt. kannst du mir da auch noch weiterhelfen?

Das mit der qualitativen Eigenschaft check ich nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

, aber ich glaub das brauch ich auch nicht smile

smile

.

23.09.2007, 12:22

therisen

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Das hatte ich überlesen Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \partial_y x^y =\partial_y \mathrm{e}^{y\ln x} =\ln(x) x^y \end{eqnarray*}$

23.09.2007, 12:44

Milkaschokolade

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Bevor ich jetzt wieder meine Ableitungen falsch habe und sofort mit der Taylor-Reihe anfange, poste ich die Ableitungen lieber mal:

$\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ --> s.o.

$\begin{eqnarray*} f_y \end{eqnarray*}$ --> s.o.

$\begin{eqnarray*} f_{xx}=y(y-1)x^{y-2}=(y^2-y)x^{y-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{xy}=x^{y-2}ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{yy}=(ln(x))^2x^y \end{eqnarray*}$

Passt das so?

23.09.2007, 12:49

therisen

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$\begin{eqnarray*} \partial_{xy}x^y=x^{y-1}(y\ln(x)+1) \end{eqnarray*}$

Der Rest stimmt.

23.09.2007, 13:39

Milkaschokolade

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Ja stimmt...

Ich hab da dann jetzt $\begin{eqnarray*} f(x,y)=xy-y+1 \end{eqnarray*}$ raus. Stimmt das?

23.09.2007, 13:44

therisen

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Nein, denn $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^y \end{eqnarray*}$ . Aber das Taylor-Polynom stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Normalerweise würde man übrigens $\begin{eqnarray*} T_2f((x,y) ; (1,1))=1+(x-1)+(x-1)(y-1) \end{eqnarray*}$ schreiben. Dann sieht man auch schön den Entwicklungspunkt Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.09.2007, 13:51

Milkaschokolade

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Zitat:

Original von therisen
Nein, denn $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^y \end{eqnarray*}$ .

Worauf war das jetzt bezogen?

EDIT: Also lass ich quasi alle $\begin{eqnarray*} (x-x_o) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y-y_o) \end{eqnarray*}$ , die nicht verschwinden so stehen?

23.09.2007, 13:54

therisen

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Ja, das ist in diesem Falle schöner. Siehe auch den Satz von der Eindeutigkeit der Taylorreihe.

23.09.2007, 13:59

Airblader

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Zitat:

Original von Milkaschokolade

Zitat:

Original von therisen
Nein, denn $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^y \end{eqnarray*}$ .

Worauf war das jetzt bezogen?

(@therisen: Ich beantworte das nur eben)

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^y = xy - y + 1 \end{eqnarray*}$ stimmt halt nicht smile

smile

air

23.09.2007, 14:00

Milkaschokolade

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Zitat:

Original von Milkaschokolade

Zitat:

Original von therisen
Nein, denn $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^y \end{eqnarray*}$ .

Worauf war das jetzt bezogen?

Aso, jetzt verstehe ich das. Dich hat das $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ gestört ;-). Ja, verständlich! Könnte ich denn auch diese zwei "ungefähr-Zeichen" machen? Wenn ich wüsst wie das in Latex geht^^. Aber deine Schreibweise ist eh wahrscheinlich richtiger!

23.09.2007, 14:01

therisen

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Ne, lass das $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ auch bleiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.09.2007, 14:03

Milkaschokolade

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Zitat:

Original von therisen
Ne, lass das $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ auch bleiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

\approx.... komisch ;-), gibts das auch in auf Deutsch?

Aber ok, ich lass das $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ bleiben ;-)!

23.09.2007, 14:03

Airblader

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"approx" soll für "approximate" = "approxmieren", "annähern" stehen smile

smile

air

23.09.2007, 14:03

therisen

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Das kommt von Approximation. Du hattest doch Latein Augenzwinkern

Augenzwinkern

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