Matrizengleichung

13.03.2005, 15:58	RedFlash	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizengleichung Hi Leute ich bins schon wieder meine allerletzte Mathe-Klausur steht halt an Ich hab folgende Matrizengleichung: XA - E = 2X - BX die soll erst mal allgemein gelöst werden und unter welchen Bedingungen eindeutig lösbar) E=Einheitsmatrix habs mal so versucht: nach X auflösen: XA - E = 2X - BX XA - 2X + BX = E \| * X^-1 A - 2E + B = X^-1 wegen E=X*X^-1 und AE = A, BE = B A + B - 2E = X^-1 ich weiß nicht was mit den Eindeutigkeitsbedingungen gemeint ist, viel. dass die A und B Matrix quadratisch sein müssen... oder der Rang der Matrizen... Hat da jemand von euch ne Idee?
13.03.2005, 17:08	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
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13.03.2005, 19:38	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
achtung Multiplikation mit Matrizen ist nicht kommutativ, wenn du mit irgendwas multiplizierst, musst du dazusagen ob von links oder von rechts und darfst danach die Reihenfolge der Matrizen nicht vertauschen. Man kann deine Gleichung nur so umformen: XA-E = 2X-BX XA = E + (2E-B)X (B-2E)X + XA = E in dieser Form heisst das dann Sylvester-Gleichung. normalerweise geschrieben: AX + XB = Y es gibt einige Theorie dazu aber elementar ist das nicht lösbar es gilt: wenn A und B paarweise verschiedene Eigenwerte haben, hat die Gleichung eine eindeutige Lösung. wenn diese Beding erfüllt ist, kann man mehr oder weniger schöne Lösungen angeben. wenn es eine Zahl c gibt, so das alle EW von B vom Betrag kleiner als c und alle von A vom Betrag größer sind, das ist $\begin{eqnarray} X= \sum_{n=0}^{\infty}A^{-n-1}YB^n \end{eqnarray}$ allgemein: sei $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ ein Weg in der komplexen Ebene mit Windungszahl 1 um alle EW von A und Windungszahl 0 um alle EW von B dann ist: $\begin{eqnarray} X=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}(A-\zeta)^{-1}Y(B-\zeta)^{-1}d\zeta \end{eqnarray}$ die Beweise dafür sind aber überhaupt nicht trivial, wenn ihr das nicht hattet bezweifle ich, dass so was erwartet wird.
14.03.2005, 10:26	RedFlash	Auf diesen Beitrag antworten »
ja danke für deine Antwort! Wir hatten weder die Sylvestergleichung noch den Beweis dazu... war auch ne Klausur von 2001, wahrsch. wird das in der Form bei uns nicht gefragt werden. hoff die Regeln hab ich jetzt verstanden. Wenn ich jetzt konkrete Werte für A und B hab: A= 4 2 0 3 -2 6 -1 5 -3 B= -1 2 -4 -3 3 -6 1 -4 6 wie muss ich dann weitermachem. wir hatten bisher immer nur die Form: AX-3X = -B da ist es ja einfach -> X=(3E-A)^-1 * B aber bei der obigen Form is ja X vertauscht, also nix mit ausklammern
14.03.2005, 10:55	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun du kannst auch von links multiplizieren. Aber das hilft dir bei einer Matrixsumme der vorm AX+XB nicht weiter. Selbst wenn du annehmen darfst das X überhaupt invertierbar ist was Grundvorraussetzung ist für die Multiplikation.
14.03.2005, 11:03	RedFlash	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, also was ich aber berechnen kann ist: der Ausdruck B-2E und XA gibt -3 2 -4 -3 1 -6 X 1 -4 4 + ......4 2 0 X 3 -2 6 ..... -1 5 -3 = E aber wie gehts dann weiter? allg. bräucht ich wohl ne Form von ax=b um es mit Gauss lösen zu können... In der kopierten Aufgabenstellung sieht man ein von Hand unterstrichenes BX, womöglich wurde in der Prüfung darauf hingewiesen, dass es sich hier um einen Zahlen-Dreher handelt. Glaub eher dass es ein Aufgabenfehler ist, sollte wohl schon XB heißen... edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
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