Aufgabe: Zentrum einer Gruppe

13.03.2005, 20:42

The_Lion

Aufgabe: Zentrum einer Gruppe

Hi.
Ich möchte hier ne Frage zum Zentrum posten.

Zitat:

Sei G eine Gruppe. Dann heißt
Z(G) := {x € G | "Für alle" a € G : ax = xa}

das Zentrum von G. Zeigen Sie:

c) Ist G/ Z(G) zyklisch, so ist G abelsch.

Man fängt so an:

G/Z(G) zyklisch ==> $\begin{eqnarray*} \exists g\in G/Z(G) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h \in G/Z(G) = g^p \end{eqnarray*}$ für geeignetes p $\begin{eqnarray*} \forall h\in G/Z(G) \end{eqnarray*}$

Es ist g = xZ(G)

weiterhin: $\begin{eqnarray*} g^p \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (xZ(G))^p = x^pZ(G) \end{eqnarray*}$

Wie kommt man auf diese Gleichheit :
$\begin{eqnarray*} (xZ(G))^p = x^pZ(G) \end{eqnarray*}$

DAnke.

14.03.2005, 10:24

quarague

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also du setzt an:
g = x * Z(G)
dann ist auch g= Z(G) * x nach Def Zentrum
damit kannst da das hoch p in die Multiplikation reinziehen
dann gilt noch: ein Element aus dem Zentrum hoch p liegt immer noch im Zentrum, weil das Zentrum eine Untergruppe ist

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