sinus/cosinus - ableitung&vereinfachung

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14.03.2005, 10:56	Maegashira	Auf diesen Beitrag antworten »
sinus/cosinus - ableitung&vereinfachung Hi! Ich bin dabei eine gebrochenrationale Funktion mit sinus und cosinus abzuleiten. Die Ableitung an sich macht mir auch keine Probleme, allerdings die Vereinfachung, damit ich überhaupt ne Chance habe noch weiter abzu"leiden und nicht tausendmal die Kettenregel anwenden muss. Die Funktion lautet: $\begin{eqnarray} sin(x)/(cos(x)+2) \end{eqnarray}$ Die 1. Ableitung ist dann: $\begin{eqnarray} 2cos(x)+1/(cos(x)+2)^2 \end{eqnarray}$ Die 2. Ableitung wäre dann ganz grob erstmal: $\begin{eqnarray} -2sin(x)(cox(x)+2)^2 - (2cos(x)+1)(2(cos(x)+2))(-sin(x))/(cos(x)+2)^4 \end{eqnarray}$ So, und ab hier setzt es bei mir aus! Kann mir bitte jemand eine schrittweise Erklärung der Vereinfachung geben? Gibt es irgendwo ein Liste mit Sinus/Cosinus-Vereinfachungen wie z.B. $\begin{eqnarray} sin^2(x) + cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ Vielen Dank schonmal...
14.03.2005, 11:17	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal wäre es hilfreich die Sachen vernünftig aufzuschreiben wenn schon die Klammerung verkehrt ist wird das nämlich mit einiger Sicherheit nichts $\begin{eqnarray} f(x)&=\frac{\sin(x)}{\cos(x)+2}\\ \Rightarrow f'(x)&=\frac{2\cos(x)+1}{(\cos{x}+2)^2}\\ f''(x)&=\frac{-2\sin(x)(\cos(x)+2)^2-(2\cos(x)+1)(2(cos(x)+2))(-\sin(x))}{(\cos(x)+ 2)^4} \end{eqnarray}$ Und wenns so darsteht kann man direkt sehen das man zumindest mal einmal $\begin{eqnarray} \cos(x)+2 \end{eqnarray}$ kürzen kann. Ansonsten gilt das was du suchst nennt man in der Regel: "Additionstheoreme" Die häufigsten findest du hier: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...age/aussage101/ Darüber hinaus gibt es noch ein paar die aber nicht so häufig gebraucht werden. Bei Bedarf kann man die zum Beispiel im Bronstein nachschlagen.
14.03.2005, 11:29	Maegashira	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, tschuldigung, dass ich den Bruchstrich nicht gefunden hab! War mit der Darstellung auch nicht glücklich! Welches $\begin{eqnarray} cos(x)+2 \end{eqnarray}$ hast du denn gekürzt? Wenn du die Lösung nicht hinschreibst, wird das nämlich mit einiger Sicherheit auch nichts... Btw: die Lösungen hab ich hier vorliegen, bis $\begin{eqnarray} f'''(x) \end{eqnarray}$ Ich brauche aber eine ganz einfache schrittweise Erklärung wie man dazu kommt, weil ich mittlerweile so gut wie keine Mathe-Grundlagen-Kenntnisse mehr habe.
14.03.2005, 11:32	Maegashira	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, der Link hilft mir schonmal weiter! Thx! Was ist der Bronstein? Ein Standardwerk für Mathe? Gibt's das auch in ähnlicher Form online?
14.03.2005, 11:34	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich meine den Bronstein oder was vergleichbares online gesehen zu haben. Allerdings nach genauer Ansicht der Aufgabe scheint mir eine Verwendung der Additionstheoreme unnötig. Die Aufgabe wird schlicht durch kürzen, ausmultiplizieren und konsequentem zusammenfassen auf eine schöne Form gebracht. Edit: und die Frage welches (cos(x)+2) ich gekürzt habe solltest du eigentlich wenn du mal genau hinguckst problemlos selber beantworten können. Mit Klammern setzen hab ich nicht notwendigerweise einen Bruchstrich gemeint aber wenn du zum Beispiel mal deine erste Ableitung betrachtest steht da: $\begin{eqnarray} 2\cos(x)+\frac{1}{(\cos(x)+2)^2}\neq\frac{2\cos(x)+1}{(\cos(x)+2)^2} \end{eqnarray}$ Vollständig zusammengefasst erhalte ich für die 2. Ableitung $\begin{eqnarray} f''(x)=\frac{2(\cos(x)-1)\sin(x)}{(\cos(x)+2)^3} \end{eqnarray}$
14.03.2005, 11:40	Maegashira	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber ICH sehe die Möglichkeiten des Kürzens und Zusammenfassens nicht! Ich checke nicht ganz, wo ich da das $\begin{eqnarray} cos(x)+2 \end{eqnarray}$ kürzen kann. Der Zählern ist doch prinziell ne Summe, in der ich doch nicht kürzen darf, oder? Wenn das $\begin{eqnarray} cos8x)+2 \end{eqnarray}$ oben irgendwo raus ist, sehe ich vielleicht den nächsten Vereinfachungsschritt, aber so bin ich im Moment wie vernagelt...
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14.03.2005, 11:43	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Faktor $\begin{eqnarray} \cos(x)+2 \end{eqnarray}$ ist im Zähler in jedem Summanden vorhanden und kann dort ausgeklammert werden und dann gekürzt. Ansonsten hast du natürlich recht, grundsätzlich darf man aus Summen nicht kürzen.
14.03.2005, 12:10	Maegashira	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, verstanden. Meine Lösung wäre dann erstmal: $\begin{eqnarray} \frac{(cos(x)+2)(-2sin(x))-((2cos(x)+1)(cos(x)+2)(-sin(x)))}{(cos(x)+2)^3} \end{eqnarray*}$ Ist das erstmal so richtig? Und dann?? Ich könnte dann den rechten Summanden des Zählers ausrechnen. Was mache ich am besten mit dem linken? Bzw. wie vereinfache ich den?
14.03.2005, 12:12	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein ist es so nicht. Du hättest den Faktor auch wirklich aus jedem Summanden ausklammern/rauskürzen müssen, das hast du aber nicht getan Wenn du das Kürzen richtig hinbekommen hast kannst du ja mal versuchen mit ausmultiplizieren und zusammenfassen weiterzukommen.
14.03.2005, 12:40	Maegashira	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich hab's!! Hab zwar keine Ahnung, wie ich das in der Klausur hinbekommen soll, aber was soll's... Trotzdem nochmal danke für die Hilfe! Ich hätte mir zwar eine schrittweise Erklärung anstatt solcher Rätselhinweise gewünscht, aber dafür kamen die Anworten im Minutentakt! Dafür auf jeden Fall !
14.03.2005, 13:10	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun die Philosophie hier ist nunmal Hilfe zur Selbsthilfe und da kann ich dir doch nicht die Lösung vorbeten

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