Wasserhöhe einer 6-seitigen Pyramide bei gegebenem Volumen

14.03.2005, 13:00

Marco77

Wasserhöhe einer 6-seitigen Pyramide bei gegebenem Volumen

Ein Hohlkörper vonder Form einer regelmäßigen 4-seitigen Pyramide mit der Grundkante a und der Höhe 2a wird, wenn die Spitze unten ist vollständig mit Wasser gefüllt. Dann wird das Wasser in eine regelmäßige 6-seitige Pyramide mit gleicher Grundkantenlänge a und gleicher Höhe 2a gegossen. Wie hoch steht das Wasser in dieser Pyramide, wenn
a) die Spitze unten ist?
b) die Spitze oben ist?

folgendes ist mir klar: V der 4s-Pyramide: 2/3*Pi*a^3
V der sechseitigen Pyramide: (Wurzel 3)*Pi*a^3

Aber wie komme ich jetzt auf die Höhe des Wassers in der sechsseitigen Pyramide.
Bei Quadr. Pyramiden und Kegeln hilft bei soetwas der Strahlensatz und hier?

bitte um ausführliche Lösungshinweise! DANKE!

14.03.2005, 13:07

kurellajunior

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RE: Wasserhöhe einer 6-seitigen Pyramide bei gegebenem Volumen

Zitat:

Original von Marco77
V der sechseitigen Pyramide: (Wurzel 3)*Pi*a^3

Such doch mal eine Formel, in der h noch vorkommt alos sowas wie Grundfläche mal Höhe der sechseitigen Pyramide *... dann hast Du es schon fast

14.03.2005, 13:16

Egal

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Ich will euch ja nicht unterbrechen aber was sucht das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ da in der Formel? Grundsätzlich gilt doch $\begin{eqnarray*} V_{\text{Pyramide}}=\frac{1}{3}Gh \end{eqnarray*}$ und weder in der Gleichung für ein Quardat noch für ein regelmässige Sechseck kommt ein $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ vor.

20.03.2005, 21:38

Marco77

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RE: Wasserhöhe einer 6-seitigen Pyramide bei gegebenem Volumen
Hallo Egal,

ich glaube Du hast recht. Pi hat dort eigentlich nichts zu suchen. Die von mir gepostete Lösung kommt aus einem Lösungsbuch zu einem Schul-Lehrbuch! Ist wohl offensichtlich ein Fehler!!!

Die Lösung ohne "pi" entspricht dann der richtigen für das Volumen der 4 bzw.6 seitigen Pyramide. Nämlich nachdem man für a=a und h=2a in die Voluemnformeln eingesetzt hat.

Deshalb verstehe ich den Hinweis von kurellajunior nicht, nach einer Formel mit "h" zu suchen und aufzulösen... oder was auch imme rzu tun?!

Zumal das Wasser die 6s-Pyramide nicht bis oben ausfüllt..., somit entfällt ein auflösen nach h. Wäre es nach wie vor eine 4s-(quadr.) Pyramide die man auf den Kopf stellt könnte man den Strahlensatz bemühen.

Ich weiss, dass das Volumen des Wassers dem Volumen der 4s-(quadr.) Pyramide entspricht, also hier besagte 2/3*a^3 (ca. 0,67*a^3)

nun wird das Wasser in die 6s-Pyramide umgefüllt. Deren Volumen beträgt (Wurzel3)*a^3, also rund 1,73*a^3

wie hoch steht nun das Wasser in der 6s-Pyramide, wenn
a) die Spitze unten
b) die Spitze oben ist

gruss Marco77

20.03.2005, 21:49

Egal

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Was du brauchst ist ein Zusammenhang zwischen der Höhe und der Seitenlinie oder besser eins zwischen der Höhe und der Kantenlänge. Wozu auch immer du dich entschliesst der Schlüssel zur Lösung ist der Strahlensatz.

22.03.2005, 23:26

kurellajunior

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Ihr könnt mich schelten, aber folgende Überlegung spukte mir im Kopf rum:
Volumen einer Pyramide: $\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3}Gh \end{eqnarray*}$
speziell:
$\begin{eqnarray*} V_4=\frac{1}{3}G_4h_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V_6=\frac{1}{3}G_6h_6 \end{eqnarray*}$

mit: $\begin{eqnarray*} G_4=a^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G_6=\frac{3}{2}a^2\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Wir wissen weiter dass
$\begin{eqnarray*} V_4=V_6 \end{eqnarray*}$

Einfach alles einsetzen und nach $\begin{eqnarray*} h_6 \end{eqnarray*}$ umstellen. Denn alles andere dürfen wir als gegeben voraussetzen... verwirrt

Was passt an dem Ansatz nicht?

Jan

23.03.2005, 08:07

Egal

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Das $\begin{eqnarray*} V_4=V_6 \end{eqnarray*}$ stimmt nicht. Die Pyramiden sind gleich hoch. Nicht die Pyramiden haben das gleiche Volumen.

23.03.2005, 09:39

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@kurellajunior

Mit $\begin{eqnarray*} V_4,G_4 \end{eqnarray*}$ hast du natürlich recht. So wie du $\begin{eqnarray*} G_6 \end{eqnarray*}$ definiert hast, ist es nur die Grundfläche der zunächst leeren Pyramide, welche die gleiche Höhe $\begin{eqnarray*} h_4 \end{eqnarray*}$ wie die quadratische Pyramide aufweist. Das Volumen der gefüllten sechsseitigen Pyramide $\begin{eqnarray*} V_6 \end{eqnarray*}$ berechnet sich allerdings anders, da die Grundfläche der gefüllten Pyramide auch einer Ähnlichkeitstransformation unterliegt!

a) Spitze unten: Hier ist

$\begin{eqnarray*} V_6\stackrel{!}{=}\frac{1}{3}G_6\left(\frac{h_6}{h_4}\right)^2h_6=\frac{1}{3}G_6\frac{h_6^3}{h_4^2} \end{eqnarray*}$

b) Spitze oben: Hier betrachten wir das Leervolumen an der Spitze, natürlich wieder mit Ähnlichkeitsbetrachtungen:

$\begin{eqnarray*} V_{\mbox{leer}}=\frac{1}{3}G_6h_4-V_6\stackrel{!}{=}\frac{1}{3}G_6\frac{(h_4-h_6)^3}{h_4^2} \end{eqnarray*}$

Wir haben $\begin{eqnarray*} G_4=a^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} G_6=\frac{3}{2}a^2\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_4=2a \end{eqnarray*}$ , damit können wir in beiden Fällen über die Gleichheit $\begin{eqnarray*} V_4=V_6 \end{eqnarray*}$ die jeweilige Höhe berechnen.

23.03.2005, 10:13

kurellajunior

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Warum nur bin ich zu dusselig Deinen Ansätzen zu folgen? Was macht das Ausrufezeichen über dem Gleichheitszeichen? Woher kommt Dein quadriertes Verhältnis, ist wohl noch zu früh verwirrt

Und ja Fehler gemacht, ich hab den Streckungsfaktor vergessen. Ich hätte das aber so korrigiert:
$\begin{eqnarray*} V_4=\frac{1}{3}G_4h_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V_6=\frac{k^2}{3}G_6h_6=\frac{k^3}{3}G_6h_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sei der Stauchungsfaktor
mit: $\begin{eqnarray*} G_4=a^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} G_6=\frac{3}{2}a^2\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_6=kh_4 \end{eqnarray*}$
Daraus ergibt sich wegen $\begin{eqnarray*} V_6=V_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}G_4h_4&=\frac{k^3}{3}G_6h_4\\ G_4&=k^3G_6\\ k&=\sqrt[3]{\frac{G_4}{G_6}} \end{eqnarray*}$
Und das ist doch wirklich einfach, oder?

Jan

23.03.2005, 10:18

Leopold

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$\begin{eqnarray*} V_4 = \frac{2}{3} a^3 \, , \ \ V_6 = \sqrt{3} a^3 \end{eqnarray*}$

Das Volumen $\begin{eqnarray*} V_4 \end{eqnarray*}$ stimmt überein mit dem Volumen $\begin{eqnarray*} V_6' \end{eqnarray*}$ einer zur sechsseitigen Pyramide ähnlichen Pyramide. Es sei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ der Streckfaktor, der die ganze sechsseitige Pyramide auf diese kleinere Pyramide zusammenzieht.

$\begin{eqnarray*} V_6' = V_4 \ \ \Rightarrow \ \ \lambda^3 \cdot \sqrt{3} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Gesuchte Höhe: $\begin{eqnarray*} h_6' = \lambda \cdot 2a \end{eqnarray*}$

23.03.2005, 10:22

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Zitat:

Original von kurellajunior
Warum nur bin ich zu dusselig Deinen Ansätzen zu folgen?

Vielleicht weil ich nicht das didaktische Talent von Leopold und kikira habe? verwirrt

Das Ausrufezeichen soll nur Aufmerksamkeit auf diese konkrete Gleichsetzung lenken - wenn es dich stört, blende es gedanklich aus. Ansonsten sind eigentlich alles normale Ähnlichkeitsbetrachtungen, so wie deine im letzten Beitrag.

23.03.2005, 10:24

kurellajunior

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zugegeben, noch einfacher Augenzwinkern

Edit, ich meine Leopold Augenzwinkern

Jan

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