Schätzfunktion konsistent?

23.09.2007, 10:03

ichverstehalles

Schätzfunktion konsistent?

Hi,

ich hab folgendes Problem:
geg. Es seien X1, X2,... unabhängig jeweils UNI(0,a)-verteilte Zufallsvariable, wobei a ein unbekannter positiver Parameter ist. Ist die Folge der Schätzfunktionen Tn(X1,...,Xn)=max( X1,...,Xn) konsistent für a?
Begründe die Antwort!

Also ich weiß konsistent heißt, dass die Folge stochastisch gegen die Konstante (hier a, denke ich) konvergiert.

Ich weiß aber einfach nicht wie ich das hier zeigen soll. Dieses mit dem max verwirrt mich etwas...
wie soll ich vorgehen?

05.10.2007, 18:06

Jule_Gast

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Hallo!

Ich habe genau die gleiche Frage. Wär super wenn doch jemand mal antworten könnte!
Danke.

05.10.2007, 18:48

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Die Vorgehensweise sollte doch klar sein:

Erstmal hier die Verteilung des Maximums bestimmen, und dann kann man die stochastische Konvergenz relativ leicht nachweisen.

05.10.2007, 19:45

ichverstehalles

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ich würds genauso machen wie dies auch gemacht haben. (ehrlich gesagt hab ich auch noch nie ne Maximumsverteilung gemacht...)

nur woher haben die ihr t? war das auch gegeben?

aber wie soll ich da die konsistenz zeigen?

ich weiß im moment überhaupt nicht was ich machen soll. studier auch kein mathe...

05.10.2007, 19:48

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Ob man das Funktionsargument nun $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} ichverstehealles \end{eqnarray*}$ nennt, ist doch nun wirklich egal - sowas muss man doch im Hochschulforum nicht mehr diskutieren, oder?

Zitat:

Original von ichverstehalles
ich würds genauso machen wie dies auch gemacht haben.

Nicht nur "würds" - mach es einfach!

06.10.2007, 13:25

Jule_Gast

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Schätzfunktion konsistent?
also ist die ML-Funktion 1/a^n?
Und wenn n gegen unendlich, dann wird dieser wert Null und ist deswegen konstistent???

06.10.2007, 15:33

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Zitat:

Original von Jule_Gast
also ist die ML-Funktion 1/a^n?

Ich verstehe dein "also" in keinster Weise. unglücklich

Neben hingeworfenen Ergebnisbrocken solltest du auch deinen Rechenweg darlegen: Was für eine ML-Funktion ist das, inwieweit ist die für die vorliegende Frage von Nutzen, ...

Zitat:

Original von Jule_Gast
Und wenn n gegen unendlich, dann wird dieser wert Null und ist deswegen konstistent???

Dieser Satz ergibt nicht den geringsten Sinn: Was hat denn Konsistenz damit zu tun, dass eine Likelihoodfunktion gegen Null geht? Nichts!

---------------------------------------

Der Weg, den ich beschrieben habe, geht so los:

Die Verteilungsfunktion der Gleichverteilung aud [0,a] ist

$\begin{eqnarray*} F_k(t) = P(X_k\leq t) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; t<0\\ \frac{t}{a} & \;\mbox{für}\; 0\leq t\leq a\\ 1 & \;\mbox{für}\; t>a \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Das musst du nur einsetzen in die Maximumverteilungsformel und erhältst für $\begin{eqnarray*} T=\max\{X_1,\ldots,X_n\} \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} F_T(t) = P(T\leq t) = (F_1(t))^n = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; t<0\\ \left( \frac{t}{a} \right)^n & \;\mbox{für}\; 0\leq t\leq a\\ 1 & \;\mbox{für}\; t>a \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen bleibt jetzt die stochastische Konvergenz von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} P( |T-a| \geq \varepsilon) = 0 \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ .

06.10.2007, 20:58

ichverstehalles

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vielen Dank.

Jetzt versteh ich das mit dem Maximieren.

rein intuitiv ist es ja konsistent wennn es mit wachsendem n gegen Null strebt, oder?

06.10.2007, 21:06

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Nun ja, "Grenzwert Null" oder "strebt gegen Null" sind doch synonym.

Wenn wir soweit sind, können wir das auch noch durchziehen und fertig rechnen: Erstmal den Betrag intern auflösen, für $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon<a \end{eqnarray*}$ gilt dann

$\begin{eqnarray*} P( |T-a| \geq \varepsilon) = P(T\geq a+\varepsilon) + P(T\leq a-\varepsilon) = 0 + \left( \frac{a-\varepsilon}{a} \right)^n = \left( 1-\frac{\varepsilon}{a} \right)^n \end{eqnarray*}$

Und wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ betrachtest, dann strebt die rechts stehende Potenz gegen Null. Und das tatsächlich für jedes der genannten $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

06.10.2007, 21:32

ichverstehalles

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das mit dem Grenzwert gegen Null wurde bei uns so grob gesagt, als nachgefragt worden ist.

Aber jetzt kann ichs nachvollziehen.

Erst die Verteilungsfunktion, dan Maximumsverteilungsfomel, dann stoch. KOnvergenz zeigen.
Den Betrag auflösen bzw. umschreiben, kenn ich ^^

jetzt macht das auch alles einen Sinn.

07.10.2007, 12:14

Jule_Gast

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Danke, jetzt verstehe ich es auch

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