Integration durch Substitution

23.09.2007, 12:31

Musti

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Integration durch Substitution

Da ich 2 Wochen Ferien habe, wollte ich mich mit dem Schulthema beschäftigen dass mir am meisten Schwierigkeiten bereitet.

Ich fange auch mit den "leichteren" Aufgaben an, aber hab da schon so meine Probleme verwirrt

verwirrt

So meine ersten beiden Berechnungen.

Es geht mir in erster Linie um die Stammfunktion und nicht um das Ergebnis des Integrals zwischen den gegebenen Grenzen.

1) $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{0}~x^2\cdot e^{x^3+1}~dx \end{eqnarray*}$

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} z=x^3+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x^2\cdot e^{x^3+1}~dx= \frac{1}{3}\int_{0}^{1}~3x^2\cdot e^{x^3+1}~dx=\frac{1}{3} \int_{1}^{2}~e^z~dz= \frac{1}{3} [e^z]_{1}^2 \end{eqnarray*}$

Die Stammfunktion lautet also: $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{3}\cdot e^{x^3+1} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

2) $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x\cdot sin(x^2)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=x^2 \end{eqnarray*}$

Lösung:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x\cdot sin(x^2)~dx= \frac{1}{2} \int_{0}^{1}~2x\cdot sin(x^2)~dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}~sin(z)~dz=\frac{1}{2} [-cos(z)]_{0}^1 \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} F(x)=-\frac{1}{2}cos(x^2) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Mit richtig, meine ich auch ob das formell korrekt aufgeschrieben ist, denn ich könnte das ja ableiten um zu überprüfen ob das richtig ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke

23.09.2007, 12:34

tmo

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jap das ist beides richtig Freude

Freude

23.09.2007, 13:06

Musti

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Danke tmo

Hier kommt auch schon das nächste Beispiel, das ein wenig "schwieriger" ist.

1) $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{4}~ln\left(\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}\right) ~dx \end{eqnarray*}$

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{2}{5}x-\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{4}~ln\left(\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}\right) ~dx= \frac{5}{2} \int_{1}^{4}~\frac{2}{5}\cdot ln\left(\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}\right) ~dx=\frac{5}{2} \int_{\frac{1}{5}}^{\frac{7}{5}}~\frac{2}{5}\cdot ln(z)~dz= \frac{5}{2}\cdot \left( \frac{2}{5}z\cdot ln(z)- \int_{\frac{1}{5}}^{\frac{7}{5}}~\frac{2}{5}z\cdot \frac{1}{z}~dz\right)= \frac{5}{2}\cdot \left[ \frac{2}{5}z\cdot ln(z)-\frac{2}{5}z\right]_ {\frac{1}{5}}^{\frac{7}{5}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(z)=z\cdot ln(z)- z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)= \left(\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}\right)\cdot ln\left(\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}\right)-\frac{2}{5}x+\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Habs editiert

Danke

23.09.2007, 13:11

tmo

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ganz am anfang hat sich ein fehler eingeschlichen:

wenn vor das integral 5/2 schreibst, musst du im integral natürlich 2/5 schreiben.

aber allgemein gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = g(mx+b) \Rightarrow F(x) = \frac{1}{m} \cdot G(mx+b) \end{eqnarray*}$

du kannst es dir also deutlich einfacher machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.09.2007, 13:15

Musti

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Den Fehler habe ich erkannt und editiert, kannst du mir sagen ob es nun stimmt?

23.09.2007, 18:30

tmo

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es ist leider immer noch falsch.

erstens hast du die klammer um das letzte glied vergessen und zweitens hast du vergessen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$ ist.

d.h. bei der substitution fällt 2/5 im integral weg.

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23.09.2007, 19:14

Musti

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Oh man ich weiß was du meinst.

Nächster Anlauf.

Ich hab raus (hab jetzt keine Lust die ganze Rechung wieder aufzuschreiben):

$\begin{eqnarray*} F(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot ln\left( \frac{2}{5}x -\frac{1}{5}\right)-x+ \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Bitte enttäusch mich nicht und sag dass es richtig ist Big Laugh

Big Laugh

23.09.2007, 19:18

tmo

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richtig

Freude

wobei du das 1/2 ganz am ende einfach weglassen kannst, wenn du nur eine stammfunktion suchst Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.09.2007, 19:39

Musti

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So bei der nächsten Aufgabe, weiß ich schon nicht was ich substituieren muss.

1) $\begin{eqnarray*} \int_{e}^{e^2}~\frac{4}{x\cdot ln(x)} ~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt eine Idee:

Ich erweitere den Bruch mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Somit habe ich stehen.

$\begin{eqnarray*} \int_{e}^{e^2}~\frac{\frac{4}{x}}{\frac{x}{x}\cdot ln(x)} ~dx= 4 \int_{e}^{e^2}~\frac{\frac{1}{x} }{ln(x)} ~dx \end{eqnarray*}$

Ist das so ok, oder denke ich vollkommen verkehrt?

23.09.2007, 19:42

tmo

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ja das ist so korrekt, aber das hättest du gar nicht machen müssen Big Laugh

Big Laugh

was würdest du denn jetzt substituieren?

23.09.2007, 19:44

Musti

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Wieso hätte ich das nicht machen müssen? Bin für jeden einfachereren Weg dankbar.

Also jetzt ist $\begin{eqnarray*} ln(x)=z \end{eqnarray*}$

Ich bekomme als Integral $\begin{eqnarray*} F(x)=4ln(ln(x)) \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Komisches Ergebnis

23.09.2007, 19:47

tmo

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denk noch an die betragsstriche und dann ist es richtig Freude

Freude

du hättest auch einfach sofort z = ln(x) substituieren können, die umformung hat da eigentlich wenig geändert.

23.09.2007, 19:49

Musti

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Stimmt ich sehe es gerade Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da habe ich ein wenig zu weit gedacht Big Laugh

Big Laugh

Wieso müssen den da noch Betragsstriche hin?

23.09.2007, 19:49

hxh

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Wenn man das anschaut sieht man ja, dass im Zähler die Ableitung vom Nenner steht.

23.09.2007, 19:56

tmo

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Zitat:

Original von Musti
Wieso müssen den da noch Betragsstriche hin?

es ist $\begin{eqnarray*} (ln(x))' = \frac{1}{x} mit D = \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$

jedoch gilt $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \Rightarrow F(x) = ln(|x|) \end{eqnarray*}$

23.09.2007, 20:00

Skibi

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Die Betragsstriche folgen daraus
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{f'(x)}{f(x)}~dx=ln(\mid f(x)\mid ) \end{eqnarray*}$

bin noch sehr langsam mit latex^^

23.09.2007, 20:13

Musti

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Alles klar.

Mein nächstes Problem:

Diesesmal ist eine Substitution vorgegeben.

1) $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{-ln(2)}~ \frac{e^{4x}}{e^{2x}+3} ~dx \end{eqnarray*}$

Die Substitution soll sein: $\begin{eqnarray*} z=e^{2x}+3 \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist, ich muss $\begin{eqnarray*} e^{4x} \end{eqnarray*}$ so umformen dass ich die Ableitung von z erhalte.

Könnt ihr mir ein Tipp geben?

23.09.2007, 20:18

tmo

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hmm diese aufgabe ist etwas trichreicher als die anderen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \int \frac{e^{4x}}{e^{2x}+3}dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = e^{2x}+3 \Rightarrow \frac{dz}{dx}=2*e^{2x} \Leftrightarrow dx=\frac{dz}{2*e^{2x}} \end{eqnarray*}$

führt zu:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{e^{4x}}{z}\cdot \frac{1}{2 \cdot e^{2x}}dz \end{eqnarray*}$

jetzt einfach mal kürzen und dann resubstituieren.

23.09.2007, 20:23

Musti

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Dann erhält man:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_{}^{}~\frac{e^{2x}}{e^{2x+3}}~dx \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

23.09.2007, 20:25

tmo

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hmm entschuldigung. resubstituieren war wohl das falsche wort.

du erhältst ja

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int \frac{e^{2x}}{z}dz \end{eqnarray*}$

nun drücke $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ mit hilfe von z aus.

23.09.2007, 20:28

Musti

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$\begin{eqnarray*} e^{2x}=z- 3 \end{eqnarray*}$ ?

Meinst du das?

Man ich komm langsam durcheinander Big Laugh

Big Laugh

23.09.2007, 20:30

tmo

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ja das ist richtig.

jetzt einfach nur noch einsetzen in deinem integral und dann erhältst du ein einfaches integral.

edit: da stand aber vorher was anderes Big Laugh

Big Laugh

23.09.2007, 20:31

Musti

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Ja hab ich jetzt, hab für kurze Zeit gedacht es handelt sich um $\begin{eqnarray*} e^{2x+3} \end{eqnarray*}$ .

Sorry

Oh Mann,

Sieht die Stammfunktion dann so aus?

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{2}\cdot (e^{2x}+3-3\cdot ln(e^{2x}+3) \end{eqnarray*}$

23.09.2007, 20:41

tmo

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jap das ist richtig. Freude

Freude

du hast dich allerdings im ln ein weiteres mal verschrieben mit dem +3 im exponent.

23.09.2007, 20:42

Musti

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Big Laugh

Oh Mann, ich weiß auch nicht wieso mir das andauernd passiert.

Wie soll man denn aber auf sowas trickreiches kommen, ich finde das total schwer, sowas zu erkennen verwirrt

verwirrt

23.09.2007, 20:46

Frooke

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Zitat:

Original von Musti
Wie soll man denn aber auf sowas trickreiches kommen, ich finde das total schwer, sowas zu erkennen verwirrt

verwirrt

Das geht nur mit Übung und machnchmal ist es wirklich einfach so, dass man es sieht, oder eben halt nicht... Ist halt keine befriedigende Antwort - sorry.

23.09.2007, 20:49

Musti

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Alles klar, dann heißt es wohl noch mehr üben üben üben. Hab ja noch 2 Wochen Zeit und so fleißige Helfer.

Ich bedanke mich recht herzlich smile

smile

24.09.2007, 11:44

Egon

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RE: Integration durch Substitution
Bezüglich der anfänglichen Aufgabe komme ich auf ein anderes Resultat:

$\begin{eqnarray*} \int x^2\cdot e^{x^3+1} dx \end{eqnarray*}$
Ich setze z:=x^3+1 und erhalte dx=dz*1/(2x^2); dies führt zu

$\begin{eqnarray*} \int x^2\cdot e^z\cdot\frac{1}{2x^2}dz = \frac{1}{2}\int e^z dz = \frac{1}{2}e^{x^3+1} \end{eqnarray*}$

Wenn nun die Lösung des OP richtig war (gemäss tmo, was ich keinesfalls anzweifeln möchte), würde mich natürlich interessieren, was bei mir falsch ist....

Danke & Gruss

24.09.2007, 11:49

Musti

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RE: Integration durch Substitution
Die Substitutionsregel lautet:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~f(g(x))\cdot g'(x)~dx= \int_{}^{}~f(z)~dx \end{eqnarray*}$

Du hast deine Ableitung weggekürzt und bist danach nciht mehr berechtigt zu substituieren.

Besser wäre du hättest dein Integral mit 3 erweitert.

24.09.2007, 12:04

Egon

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RE: Integration durch Substitution
Mir scheint, ich habe die Substitutionsregel schon richtig angewendet. Aaaber:

Mein Fehler lag in einer Unachtsamkeit. Die Ableitung von x^3+1 ist natürlich 1/(3x^2); dann kommt's richtig:

$\begin{eqnarray*} \int x^2\cdot e^z\cdot\frac{1}{3x^2} dz=\frac{1}{3}\int e^z dz \end{eqnarray*}$

24.09.2007, 12:05

Musti

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RE: Integration durch Substitution
stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

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