Wendepunkte VZW

14.03.2005, 20:18

ichverstehalles

Wendepunkte VZW

Hi!

Ich hab jetzt mal so ne Allgemeine Frage und zwar hab ich mich das schon immer gefragt weilich das nie so ganz verstanden hab, vielleicht hab ich auch einfach nicht aufgepasst - egal

also wenn man Wendepunkte berechnet nimmt man ja die 2.Ableitung und die 3.Ableitung nimmt man nur wenn man beweisen will dass es auch einen Wendepunkt gibt.

So eigentlich könnte man sich doch meistens die 3.Ableitung sparen oder?

und was hat das mit dem VorZeichenWechsel auf sich. Irgendwie wenn VZW vorliegt dann brauch man die 3.Ableitung nicht mehr.

Wie ist das denn. kann mir das jemand erklären!

danke

14.03.2005, 20:22

aRo

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du brauchst die 3.Ableitung um zu überprüfen, ob wirklich ein Wendepunkt vorliegt.

Alternativ geht auch das VZW-Kriterium:

dabei musst die schauen ob ein VZW bei der 2.Ableitung kurz vor und kurz hinter dem x von der Wendestelle ist.

wenn ja handelt es sich um einen WP

14.03.2005, 20:42

Mathespezialschüler

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Also du brauchst die 3. Ableitung schon!
Wenn du ein a gefunden hast mit f''(a)=0, dann kann a ein Wendepunkt sein, muss aber nicht!!!!.
Ob es wirklich einer ist, das überprüfst du dann mit der dritten Ableitung: Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-6x^2+2x-9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=6x-12 \end{eqnarray*}$

Das wird für x=2 0. Ist 2 jetzt ein Wendepunkt? Das musst du überpüfen, das kannst du mit der 3. Ableitung machen.

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=6 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} f'''(2)=6\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, ist also 2 ein Wendepunkt.

2. Bsp.:

$\begin{eqnarray*} g(x)=x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g''(x)=12x^2 \end{eqnarray*}$

Das wird 0 für x=0. Ist 0 ein Wendepunkt?? Nein!! Das siehst du hier am Graphen sehr schön, es ist ein Tiefpunkt, obwohl doch $\begin{eqnarray*} g''(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist. Du siehst also, dass man das ganze doch noch überprüfen muss!

Und jetzt zum Vorzeichenwechsel.
Dieses Überprüfen kann man auch auf andere Weise machen.
Wenn du ein a gefunden hast, für das $\begin{eqnarray*} f''(a)=0 \end{eqnarray*}$ gilt, dann musst du ja, wie oben schon gesagt, noch überprüfen, ob das wirklich ein Wendepunkt ist. Und das geht dann mit VZW so:
Du guckst, welches Vorzeichen die zweite Ableitung hat für x, die ganz nah bei a sind, aber links von a. Und dann das gleiche für x, die nah bei a, aber rechts von a liegen. Wenn die Vorzeichen verschieden sind, dann ist es ein Wendepunkt.
Nehmen wir das Beispiel von oben:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=6x-12 \end{eqnarray*}$

Es ist

$\begin{eqnarray*} f''(2)=6\cdot 2-12=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt überprüfst du Werte, die nah bei 2 sind, aber links. Z.B. 1,99:

$\begin{eqnarray*} f''(1,99)=6\cdot 1,99-12=-0,06 \end{eqnarray*}$

Das ist also kleiner als 0. Und jetzt Werte nah bei a, aber rechts, z.B. 2,01:

$\begin{eqnarray*} f''(2,01)=6\cdot 2,01-12=0,06 \end{eqnarray*}$

Das ist größer als 0. Die Vorzeichen sind also verschieden, das bedeutet, dass die zweite Ableitung beim Durchgang durch 2 einen Vorzeichenwechsel besitzt, denn links von 2 ist die zweite Ableitung negativ, rechts positiv, also VZW bei 2.
Und deswegen ist 2 ein Wendepunkt.

smile

14.03.2005, 20:47

Egal

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Ich weiss aus Erfahrung das viele lieber mit der 3. Ableitung arbeiten. Dies ist aber mitunter nicht immer sinnvoll. Eine Überprüfung auf einen Vorzeichenwechsel kann erheblich einfacher sein als das bilden einer 3. Ableitung die man dann sowieso nicht braucht.

15.03.2005, 22:31

ichverstehalles

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Mist ich wußte das mit dem wenn es ungleich 0 ist schon.

Meint ihr dass es schlimm ist, wenn ich in der Klausur zwar WPs berechnet habe, allerdings nie ne 3.Ableitung gemacht hab. Selbst wenn alle WPs vorhanden sind?

Danke das mit dem VZW hab ich jetzt auch mal verstanden. ist wirklich einfacher, weil es mir manchmal echt zu blöd (oder auch zu schwierig) bei bestimmten Funktionen, ne Ableitung zu machen.

danke nochmal!

16.03.2005, 00:04

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von ichverstehalles
Meint ihr dass es schlimm ist, wenn ich in der Klausur zwar WPs berechnet habe, allerdings nie ne 3.Ableitung gemacht hab. Selbst wenn alle WPs vorhanden sind?

Ich würde dir auf jeden Fall Punkte abziehen.

16.03.2005, 15:22

4c1d

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ich meine auch, dass das berechnen der 3. Ableitung i.a. unnötig ist.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} f''(x)=6x-12 \end{eqnarray*}$

Man kann z.B. auch für x (2+ $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ) einsetzen und sehen was für $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ >0 und $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ <0 passiert :
$\begin{eqnarray*} f''(x+\epsilon) = 6\epsilon \end{eqnarray*}$ , usw.
In diesem Fall eigentlich unnötig, aber in anderen Fällen (z.B. gebrochenrationale oder kompliziertere transzendente funktionen) häufig einfacher (und ich denke mal auch mathematisch korrekt ?!) als die Methode mit der 3. Ableitung.
Ich weiß nicht, ob der Lehrer Punkte dafür abziehen kann, wenn es nicht explizit in der Aufgabenstellung gefordert wird

16.03.2005, 15:24

Egal

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Ich denke mal eher das damit gemeint war wenn du weder die 3. Ableitung noch den VZW überprüft hast.

16.03.2005, 16:55

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von 4c1d
Man kann z.B. auch für x (2+ $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ) einsetzen und sehen was für $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ >0 und $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ <0 passiert :
$\begin{eqnarray*} f''(x+\epsilon) = 6\epsilon \end{eqnarray*}$ , usw.

Das ist doch genau die Sache mit dem VZW, die ich oben auch schon erklärt habe!
Desweiteren sind beide Methoden mathematisch korrekt, es gibt also keine "korrektere" Methode.

16.03.2005, 16:59

Frooke

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Ich - als bekennender Anhänger der 3. Ableitung - bin der Meinung, dass so in Schulklausuren nicht Funktionen gefragt werden, deren 3. Ableitung kaum zu berechnen ist... Augenzwinkern

Zitat:

Original von: Mathespezialschüler
Ich würde dir auf jeden Fall Punkte abziehen.

@ichverstehalles: Das kommt doch auf die Fragestellung an! Wenn die Wendepunkte gefragt sind, musst Du schon überprüfen, ob sie auch existieren!!! Aber manchmal sind vielleicht auch nur die Kandidaten für Wendepunkte gefragt - unser Lehrer macht das manchmal! Dann genügt die Angabe der Nullstellen der zweiten Ableitung!

16.03.2005, 17:27

4c1d

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Desweiteren sind beide Methoden mathematisch korrekt, es gibt also keine "korrektere" Methode.

das sehe ich auch so. allerdings könnte man argumentieren, dass man, wenn man einfach nur einen etwas höheren oder etwas tieferen x-wert einsetzt, nicht völlig genau - auch wenn oft genau genug - vorgeht; dieser gefahr entgeht man, wenn man für den abstand eine variable einsetzt, die man dann im prinzip beliebig klein werden lassen kann. aber ob man das so macht oder über die dritte ableitung, ist in den meisten fällen wohl auch geschmackssache

16.03.2005, 17:30

Frooke

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Zitat:

Original von 4c1d
das sehe ich auch so. allerdings könnte man argumentieren, dass man, wenn man einfach nur einen etwas höheren oder etwas tieferen x-wert einsetzt, nicht völlig genau - auch wenn oft genau genug - vorgeht; dieser gefahr entgeht man, wenn man für den abstand eine variable einsetzt, die man dann im prinzip beliebig klein werden lassen kann. aber ob man das so macht oder über die dritte ableitung, ist in den meisten fällen wohl auch geschmackssache

Ja, hast Du recht, wenn Du es mit Limiten machst, gefällts sogar mir Big Laugh

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