Lineares Gleichungssystem |
| 15.03.2005, 01:19 | TS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lineares Gleichungssystem habe hier ein lineares Gleichungssystem wie habe ich hier vorzugehen, würde ja sowieso immer nur auf 0 kommen ?! oder ? 
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| 15.03.2005, 08:35 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Lineares Gleichungssystem
Nicht unbedingt. Es könnte auch mehr Lösungen geben. Das hängt von der Determinanten ab. Was das Lösen angeht: Welche Verfahren kennst du denn? Einsetzungs- bzw. Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren? |
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| 15.03.2005, 08:36 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist zumindest eine Lösung. Jetzt könntest du höchsten überprüfen ob es neben der trivialen Lösung noch weitere nicht triviale Lösungen gibt. was ich aber so auf den ersten blick mal bezweifeln würde. |
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| 15.03.2005, 10:59 | TS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also mit dem Additionsverfahren komme ich auf Null als Lösung für alle x. Wie kann ich denn überrüfen, ob es nicht noch andere Lösungen gibt? |
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| 15.03.2005, 11:10 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hilft nur richtiges Rechnen oder die Determinante Diese muß ungleich Null sein. Dann gibt es nur die triviale Lösung. |
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| 15.03.2005, 11:25 | TS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich komme auf 704 , d.h. ungleich 0.... |
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| 15.03.2005, 11:27 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe zwar was anderes raus, aber auch ungleich Null. |
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| 15.03.2005, 11:36 | TS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh ein Vorzeichen nicht beachtet, müsste 384 sein, richtig? |
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| 15.03.2005, 11:55 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
= 4 * (-8) - 10 * 16 - 6 * (-32 - 64) = -32 - 160 + 576 = 384 richtig! 
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| 15.03.2005, 12:05 | TS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und was heisst das jetzt? Es gibt also mehrere Lösungen? Wie berechne ich die denn? Nebenbei : Wie bist du bei der Berechnung der Determinante vorgegangen? Ich hatte das mit dieser Saurrus Regel berechnet, aber deine Variante sieht einfacher aus.. |
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| 15.03.2005, 12:22 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das fällt unter den Bereich Determinantenentwicklungssatz nach Laplace. Link zu Vertiefung Und nein das Ergebnis heisst, dass die Vektoren linear unabhängig sind was wiederum gleichbedeutend ist mit es gibt keine nicht triviale Lösung. |
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| 17.03.2005, 18:44 | TS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ne weitere ähnliche Aufgabe mit unterschiedlichen Vorzeichen: wieder und Determinante diesmal auch Null... d.h. Gleichungssystem hat triviale Lösung Null, korrekt ? |
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| 18.03.2005, 08:44 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nun ja, jedes lineare GLS mit Nullen auf der rechten Seite hat die triviale Lösung, egal wie die Determinante ausfällt. Die Frage ist, ob die triviale Lösung die einzige Lösung ist. Das ist nur dann der Fall, wenn die Determinante ungleich Null ist. Hier ist aber die Determinante = 0 und tatsächlich sind in diesem Fall alle Vielfachen von (1; 2; 4) weitere Lösungen. |
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| 18.03.2005, 12:48 | TS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aha d.h. wenn die Determinante ungleich 0 ist hat das Gleichungssystem nur 0 als Lösung, wenn die Determinante aber gleich 0 ist, dann hat sie zusätzlich zur 0 noch mehrere Lösungen? Und wie komme ich dann auf die anderen Lösungen? |
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| 18.03.2005, 13:09 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja du setz einfach zb und bestimmt dann die anderen Variablen in Abhängigkeit von t. Das gibt dir dann unendlich viele Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter t. Determinante gleich 0 heisst das die "Vektoren" linear abhängig sind. Das heisst dein Gleichungssystem ist unter bestimmt. Edit: öhm unter bestimmt muss das natürlich heissen |
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| 18.03.2005, 14:13 | TS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also jetzt nochmal komplett... nach dem Additionsverfahren erhalte ich 0 = 0 nun löse ich die Determinate des Glecihungssystems auf und erhalte auch 0 , d.h. ich habe mehr Lösungen als die 0.. nun setze ich für z.b. ein und löse nach t auf und erhalte am Ende auch wieder 0 = 0 d.h. ich habe unendlich viele Lösungen? Hätte ich das alles denn wirklich machen müssen, hätte es nicht schon nach dem Additionsverfahren, wo ich bereits auf 0 = 0 kam gereicht um darauf zu schließen, dass dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat? |
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| 18.03.2005, 14:21 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
falsch. Setze für x1 in der 3. Gleichung das t ein. Was ist dann x2? Dann mit 2. Gleichung das x3 bestimmen. |
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| 18.03.2005, 14:26 | TS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, so habe ich es ja auch gemacht.. erhalte für , eigesetzt in die 2.Gleichung, erhalte ich für .. und das alles eingesetzt in die 1.Gleichung erhalte ch 0 = 0 |
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| 18.03.2005, 14:29 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das wundert mich nicht. Jedenfalls ist also der Vektor (t; 2t; 4t) = t * (1; 2; 4) eine Lösung. Dabei war t beliebig. Damit hast du deine unendlich vielen Lösungen. |
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| 18.03.2005, 14:33 | TS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, aber um das eindeutig sagen zu können müssen also all diese Schritte gemacht werden... da muss man wohl durch... Danke... |
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| 18.03.2005, 14:36 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun ja, das mit der Determinanten kann man sich sparen. Es reicht, wenn man das GLS mit dem Gauß-Algorithmus (entspricht im wesentlichen dem Additionsverfahren) umformt, so daß eine Variable jeweils in den darunter befindlichen Gleichungen eliminiert ist. |
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| 18.03.2005, 15:17 | TS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
d.h. also wenn man mit dem Gauß-Algorithmus schon auf die Lösung 0 = 0 kommt, kann man direkt sagen, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat und muss den ganzen Rest nicht machen? |
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| 18.03.2005, 15:29 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das kommt drauf an, was du unter dem ganzen Rest verstehst. Wenn du wissen willst, wie sich die unendlich vielen Lösungen darstellen lassen, mußt du das Verfahren mit dem "t" anwenden. |
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