Durchmesser eines Kabelbündels

15.03.2005, 08:53	schnoerkl	Auf diesen Beitrag antworten »
Durchmesser eines Kabelbündels Hi, kann mir jemand erklären oder ein Programm zeigen, mit dem man Annäherungsweise den Durchmesser eines Kabelbündels berechnen kann. Das Problem hierbei ist, dass die einzelnen Kabel alle unterschiedliche Durchmesser haben können, und auch die Anzahl der Kabel beliebig ist! Danke für die Bemühungen
15.03.2005, 09:46	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Grad gestern hat Werner im Thread http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=14478 folgenden link gepostet: http://servix.mathematik.uni-stuttgart.de/B1/b1.shtml Da steht folgendes, was zu deinem Problem passt: "Wieviel Prozent der Tischfläche können Sie mit gleich großen Kreisen, also mit den Bierdeckeln zudecken, wenn Sie es ganz geschickt anstellen? Die Antwort ist schon ziemlich lange bekannt: Sie können maximal 90,7% der Tischfläche zudecken, und dazu müssen Sie um jeden Bierdeckel genau 6 Bierdeckel herumlegen. Aber warum müssen die Kreise alle gleich groß sein? Was geschieht, wenn die Kreise verschieden groß sind, manche Kreise sind größer, manche kleiner? Jedem ist klar, dass man dann bei geschickter Anordnung einen größeren Teil der Tischfläche zudecken kann. Irrtum! Ein verblüffendes Ergebnis ist, dass man auch dann nur 90,7% der Tischfläche zudecken kann, solange der Radius des kleinsten Kreises nicht zu klein ist. Der Radius des kleinsten Kreises darf bis zu 74,3% vom Radius des größten Kreises betragen, wie in Stuttgart bewiesen wurde. Man vermutet sogar, dass der Radius des kleinsten Kreises bis zu 64,5% vom Radius des größten Kreises betragen darf, und man kann immer noch nur 90,7% der Tischfläche zudecken." Die 90,7% entsprechen dem Verhältnis $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ (Kreisfläche geteilt durch Fläche des umschriebenen regelmäßigen Sechsecks). Für eine größerer Anzahl N von Teilkabeln mit den Durchmessern $\begin{eqnarray} d_1,\ldots,d_N \end{eqnarray}$ hat das folgende Näherungsformel für die Querschnittsfläche A des Kabelbaums zur Folge: $\begin{eqnarray} A\approx\frac{2\sqrt{3}}{\pi}\cdot\frac{\pi}{4}\sum\limits_{k=1}^Nd_k^2 \end{eqnarray}$ (Natürlich nur, wenn die Kabelisolierungen der Teilkabel nicht stark in die freien Zwischenräume "gequetscht" werden.) Andererseits ist $\begin{eqnarray} A=\frac{\pi}{4}d^2 \end{eqnarray}$ , somit folgt für den Durchmesser $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ des Gesamtkabels: $\begin{eqnarray} d\approx\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{\pi}\sum\limits_{k=1}^Nd_k^2}\approx 1.05\cdot\sqrt{\sum\limits_{k=1}^Nd_k^2} \end{eqnarray}$ Für kleine N kann der Fehler dieser Formel allerdings erheblich sein! Aber auf alle Fälle stimmt folgende Abschätzung nach unten (auch bei gequetschten Kabeln): $\begin{eqnarray} d\geq\sqrt{\sum\limits_{k=1}^Nd_k^2} \end{eqnarray}$
15.03.2005, 10:55	schnoerkl	Auf diesen Beitrag antworten »
Durchmesser eines Kabelbündels Hi Arthur, erstmal vielen Dank für dein Bemühen, werd gleich mal deine Fromeln ausprobieren und schauen, ob es in etwa den Vorstellungen entspricht, die wir beötigen, denn es soll ja schließlich auch nur ne Annäherung sein Meld mich dann später nochmal! Gruß schnoerkl
15.03.2005, 11:30	schnoerkl	Auf diesen Beitrag antworten »
Durchmesser eines Kabelbündels Hi Arhtur, ich hab nochmal ne Frage. Gibt es denn auch eine Abschätzung nach oben für kleine N ?, denn lieber macht man das Rohr für die Kabel etwas zu groß, bevor sie dann später nicht hineinpassen! es würde schone eine Grobe Abschätzung reichen!
15.03.2005, 11:38	schnoerkl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchmesser eines Kabelbündels mich würde auch noch interessieren, aber welchen N das Ergebnins dann in etwa stimmt bzw. die Mindestgröße des Durchmessers auch für den realen Fall stimmt, dann könnte man ja zumindest schon mal ab N Kabeln dies ungefähr bestimmen! schnoerkl
15.03.2005, 13:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchmesser eines Kabelbündels Jetzt mal etwas Heuristik: Der worst case wird wohl der Fall zweier gleich starker Kabel sein, dementsprechend denke ich, dass die obere Abschätzung $\begin{eqnarray} d\leq\sqrt{2\sum\limits_{k=1}^Nd_k^2} \end{eqnarray}$ richtig ist. Ich leg dafür aber nicht meine Hand ins Feuer. Und ab welchem N das mit den 1.05 etwa stimmt? Schwer zu sagen, auf alle Fälle solltest du für kleine N eher mit einem größeren Faktor rechnen, wie das obige Beispiel N=2 zeigt.
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23.03.2005, 10:47	schnoerkl	Auf diesen Beitrag antworten »
Durchmesser eines Kabelbündels Hallo ihr, hi Arthur, falls du hier nochmal reinschaust. Die Näherungsformel, die du oben angegeben hast, funktioniert eigentlich ganz gut. Das einzige Problem hab ich noch mit dem Faktor 1.05 vor dem Summenzeichen. Ich versuch schon seit ein paar Tagen diesen irgendwie in Abhängigkeit mit den jeweils gegebenen Kabeldurchmessern zu bringen, was mir aber nicht ganz gelingt! Vielleicht hat ja irgendjemand eine Idee dazu! Gruß schnoerkl

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