Schwerpunkt eines Kreises mit unterschiedlichen Massenbelegungen

23.09.2007, 17:59

Milkaschokolade

Schwerpunkt eines Kreises mit unterschiedlichen Massenbelegungen

Hallo,

im Anhang findet ihr eine Aufgabe, die ich gerne lösen möchte.

Wie kann ich begründen, dass die y-Koordinate des Schwerpunktes gleich 0 ist? Kann ich sagen, dass die x-Achse (darauf liegt ja die y-Koordinate) die Massen des Kreises genau aufteilt?

Zur Berechnung der x-Koordinate des Schwerpunktes:
Wir haben in der Vorlesung die Formel $\begin{eqnarray*} x_M=\frac{\sigma}{M} \int_{}^{}\int_{}^{}~x~dx dy \end{eqnarray*}$ verwendet. In meinem Buch (Papula) steht vor den Integralzeichen immer $\begin{eqnarray*} \frac{1}{A} \end{eqnarray*}$ . Laut unserem Prof ist aber $\begin{eqnarray*} \sigma=\frac{M}{A} \end{eqnarray*}$ , also kommt das hin.

Der Kreis ist ja in vier Teile unterteilt. Quadrant 2 und 3 hat die gleiche Massenbelegung, sowie Quadrant 1 und 4.

Wie oft muss ich jetzt integrieren? Viermal - da es viermal unterschiedliche Grenzen sind? Zweimal wegen den beiden Massenbelegungen?
Ist es einfacher mit Polarkoordinaten zu rechnen? Eigentlich ist das ja immer wenn ein Kreis im Spiel ist...

Könnte ich dann zB die linke Kreishälfte mit den r-Grenzen -a und 0 und mit den $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ -Grenzen $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ rechnen?
Oder ist das Quatsch was ich da erzähle? Bei einem vollen Kreis rechnet man ja auch von 0 bis $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ...

23.09.2007, 18:04

Leopold

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Du willst doch nicht etwa den Schwerpunkt eines Kreises berechnen! Das würde ich nicht tun, weil der Schwerpunkt von der unmittelbaren geometrisch-physikalischen Anschauung ja klar ist.
Interessanter wäre es zum Beispiel, den Schwerpunkt eines Halbkreises oder eines Kreissektors vom Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Das hatten wir übrigens schon hier im MatheBoard.

23.09.2007, 18:20

Milkaschokolade

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Doch das ist doch die Aufgabe....
Mit ist auch klar, dass der Schwerpunkt eines Kreises normalerweise in der Mitte ist...
Aber bei dem Kreis sind die Massenverhältnisse ja unterschiedlich. Also müssen diese auch im Endergebnis auf tauchen....

Das ist eine alte Klausuraufgabe von unserem Prof...

23.09.2007, 18:21

Leopold

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Zitat:

Original von Milkaschokolade
Aber bei dem Kreis sind die Massenverhältnisse ja unterschiedlich.

Sorry, da hatte ich nicht sorgfältig genug gelesen.

23.09.2007, 19:03

WebFritzi

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Nach ein paar Überlegungen meine ich, dass folgendes gelten müsste:

$\begin{eqnarray*} x_M = \frac{2}{\pi r^2 (\sigma_1 + \sigma_2)}\left(\sigma_1\int\limits_{\rm LKH}x\,dx\,dy + \sigma_2\int\limits_{\rm RKH}x\,dx\,dy\right). \end{eqnarray*}$

Dabei stehen LKH und RKH für linke und rechte Kreishälfte.

23.09.2007, 19:16

Milkaschokolade

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Danke für deine Überlegungen!

Was hast du denn mit dem $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gemacht? Die Fläche des Kreises $\begin{eqnarray*} A=\pi r^2 \end{eqnarray*}$ erkenne ich.
Aber ich blicke noch nicht so recht, wie du auf den Faktor vor der Klammer gekommen bist.

Sind den wohl die Polarkoordinaten der beste Weg die Aufgabe zu lösen?

Als Grenzen würde ich folgende nehmen:

LKH: x-Grenzen: -r und 0, y-Grenzen: $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$

RKH: x-Grenzen: 0 und r, y-Grenzen: $\begin{eqnarray*} \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Bin mir aber sehr unsicher bei den y-Grenzen...

23.09.2007, 20:02

cst

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Du vermischt da irgendwie Polar- und kartesische Koordinaten. Meist sind Polarkoordinaten bei Kreisen besser, hier geht beides passabel.

In kartesichen Koordinaten hättest du (Kreisradius a):

LKH: $\begin{eqnarray*} -a \leq x \leq 0;~-\sqrt{a^2-x^2}\leq y \leq \sqrt{a^2-x^2} \end{eqnarray*}$
RKH: $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq a;~-\sqrt{a^2-x^2}\leq y \leq \sqrt{a^2-x^2} \end{eqnarray*}$

In Polarkoordinaten:

LKH: $\begin{eqnarray*} 0 \leq r \leq a;~\frac \pi 2 \leq \varphi \leq \frac 32 \pi \end{eqnarray*}$
RKH: $\begin{eqnarray*} 0 \leq r \leq a;~-\frac \pi 2 \leq \varphi \leq \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$

lg
cst

23.09.2007, 20:20

Milkaschokolade

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Äh ja sorry.

Das sollten natürlich r und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ -Grenzen sein.

Allerdings kann ich deine Grenzen nicht so ganz nachvollziehen. Im LKH ist die linke r-Grenze doch -a. Und die $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ -Grenzen des RHK sind mir nicht klar.
Wenn man sich jetzt auf die x-Achse stellt, sind es schon sowohl $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ nach oben und unten. Aber ich hätte die nie so benannt, weil es ja eigentlich keine negativen Winkel gibt...

23.09.2007, 21:00

cst

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Negative Winkel gibt es noch eher als negative Abstände Augenzwinkern

, r ist ja als Abstand vom Nullpunkt definiert und ist deswegen nie negativ $\begin{eqnarray*} (\sqrt{x^2+y^2}) \end{eqnarray*}$ . Bei den Winkeln bist du da etwas freier in deiner Wahl, man kann ja auch z.B. den Winkel zur negativen x-Achse nehmen. Wenn du sie klassisch definierst (zur positiven x-Achse), so wie du das offenbar gemacht hast, dann haut das mit $\begin{eqnarray*} \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \frac 32 \pi \end{eqnarray*}$ für die LKH schon hin, für die RKH müsstest du dann aber $\begin{eqnarray*} \frac 32 \pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \frac 52 \pi \end{eqnarray*}$ ansetzen. Dass r nichtnegativ sein muss, bleibt aber.

23.09.2007, 21:02

Milkaschokolade

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Wir haben in der Vorlesung/Übung öfters mit negativem r gerechnet...
Aber das mit den Winkeln leuchtet mir ein.

Danke!

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