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23.09.2007, 18:13

joeehhii

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Wie leitet man die folgende Funktion ab?
Die Produktregel doppelt anwenden?

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{\frac{1}{2}} \cdot sinx \cdot cosx \end{eqnarray*}$

23.09.2007, 18:16

WebFritzi

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Na, das solltest du dir denken können. Versuch es mal. Wir sagen dir dann, ob's OK ist.

23.09.2007, 18:19

joeehhii

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Ich kann jeden Faktor einzeln ableiten.
Aber das ist schließlich falsch.
Nur wenn ich das mit der Produktregel ableite, dann leite ich einen Faktor ab und die andern 2 bleiben dann stehen...z.B.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \cdot sinx \cdot cosx + ... + ...(-sinx) \end{eqnarray*}$

23.09.2007, 18:20

Leopold

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Assoziativgesetz der Multiplikation:

$\begin{eqnarray*} a \cdot b \cdot c = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c) \end{eqnarray*}$

23.09.2007, 18:31

therisen

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Hallo,

für derartige multiplikativ aufgebaute Funktionen empfiehlt sich die Verwendung der logarithmischen Ableitung. Man erhält (über die Identität $\begin{eqnarray*} f'=\frac {f'}ff \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\left(\frac1{2x}+\cot x-\tan x\right)\sqrt x\sin x\cos x \end{eqnarray*}$

Man beachte, dass der Tangens z.B. für $\begin{eqnarray*} x=\frac\pi2 \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist. Die obige Funktion lässt sich aber dort stetig fortsetzen - und so soll obige Gleichung gelesen werden.

Gruß, therisen

23.09.2007, 19:07

WebFritzi

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Nach Produktregel gilt

(fgh)' = f'(gh) + f(gh)' = ...

Jetzt auf gh nocheinmal die Produktregel anwenden.

23.09.2007, 23:02

joeehhii

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Ich verstehe nicht, was du damit meinst...
Die Produktregel steckt 2mal in dieser Ableitung oder?

23.09.2007, 23:03

therisen

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Ja, für $\begin{eqnarray*} (gh)' \end{eqnarray*}$ brauchst du sie nochmal.

23.09.2007, 23:10

joeehhii

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$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{\frac{1}{2}} \cdot sinx \cdot cosx \end{eqnarray*}$

Erster Teil = $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \cdot sinx + x^{\frac{1}{2}} \cdot cosx) \cdot cosx \end{eqnarray*}$

So weit richtig oder hab ichs nicht verstanden?

23.09.2007, 23:55

therisen

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Erster Teil?

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac1{2\sqrt x}\sin(x)\cos(x)+\sqrt x(\sin(x)\cos(x))'=\dots \end{eqnarray*}$

Jetzt also noch $\begin{eqnarray*} \sin(x)\cos(x) \end{eqnarray*}$ ableiten...

24.09.2007, 03:51

WebFritzi

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Zitat:

Original von joeehhii
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{\frac{1}{2}} \cdot sinx \cdot cosx \end{eqnarray*}$

Erster Teil = $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \cdot sinx + x^{\frac{1}{2}} \cdot cosx) \cdot cosx \end{eqnarray*}$

So weit richtig oder hab ichs nicht verstanden?

Ja, du hast jetzt

(fgh)' = (fg)'h + ...

Der zweite Teil fehlt noch.

24.09.2007, 11:57

Lazarus

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Und wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} \sin(x)\cos(x)=\frac{\sin(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ ?
So würds jedenfalls ich machen ...

24.09.2007, 12:41

joeehhii

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$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \cdot sinx + x^{\frac{1}{2}} \cdot cosx) \cdot cosx \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}} \cdot sinx + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \cdot cosx + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \cdot cosx + x^{\frac{1}{2}} \cdot (-sinx)) \cdot (-sinx) \end{eqnarray*}$

24.09.2007, 15:45

WebFritzi

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Jetzt kann ich dir auch nicht mehr folgen. Und mal so ganz nebenbei: Aus einem Term kann nichts folgen. Aus einer Aussage folgt etwas, aber nicht aus einem Term.

EDIT: Dir ist doch aber klar, dass deine Ableitung noch nicht vollständig war, oder?

EDIT2: Ahh, jetzt verstehe ich. Du wolltest den Term ableiten. Dann schreib das doch auch. Die Ableitung ist aber falsch, denn es ist wieder nur der erste Teil, den du da hingeschrieben hast.

24.09.2007, 19:03

joeehhii

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Genau, also ich wollte die "Teilableitung" zur vollständigen Ableitung bringen.

Oder wie soll ich das anders lösen? Kann dem f(gh') etc nicht ganz folgen
Was ist g bzw. h?

24.09.2007, 19:09

therisen

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$\begin{eqnarray*} g(x)=\sin x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x)=\cos x \end{eqnarray*}$

24.09.2007, 23:14

WebFritzi

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Zitat:

Original von joeehhii
$\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2}} \cdot sinx \cdot cosx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{1/2}, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = \sin(x), \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x) = \cos(x). \end{eqnarray*}$

Du hast also fgh abzuleiten (das ist eine Kurzschreibweise für $\begin{eqnarray*} f(x)\cdot g(x)\cdot h(x) \end{eqnarray*}$ ).

Es gilt

(fgh)' = ( (fg)*h )' = (fg)' * h + (fg) * h'.

Jetzt noch Produktregel auf (fg)' anwenden und am Ende einsetzen.

29.09.2007, 17:37

joeehhii

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Edit:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{\frac{1}{2}} \cdot sinx \cdot cosx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \cdot sinx + x^{\frac{1}{2}} \cdot cosx) \cdot cosx + (x^\frac{1}{2} \cdot sinx) \cdot (-sinx) \end{eqnarray*}$

So richtig?

30.09.2007, 00:32

WebFritzi

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Ja, so ist es richtig.

30.09.2007, 13:07

joeehhii

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Danke

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