einpunktkompaktifizierung

23.09.2007, 19:25

gerhard23456

einpunktkompaktifizierung

Hallo,

Sei $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal O) \end{eqnarray*}$ ein topologischer Raum und sei

$\begin{eqnarray*} X^*:=X \cup \{\infty \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathcal O^*:=\mathcal O \cup \{V \subset X^* |X^* \setminus V \subset X, \ abgeschlossen\ und\ kompakt\} \end{eqnarray*}$

zz:

$\begin{eqnarray*} V \in \mathcal O^* \end{eqnarray*}$

genau dann, wenn

a) $\begin{eqnarray*} V \cap X \in \mathcal O \end{eqnarray*}$

b) wenn $\begin{eqnarray*} \infty \in V \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} X \subset V \end{eqnarray*}$ kompakt

Dass aus
$\begin{eqnarray*} V \in \mathcal O^* \end{eqnarray*}$ a) folgt hab ich denk ich hinbekommen. Wie macht man denn weiter?

24.09.2007, 01:06

Abakus

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RE: einpunktkompaktifizierung

Zitat:

Original von gerhard23456
zz:

$\begin{eqnarray*} V \in \mathcal O^* \end{eqnarray*}$

genau dann, wenn

a) $\begin{eqnarray*} V \cap X \in \mathcal O \end{eqnarray*}$

b) wenn $\begin{eqnarray*} \infty \in V \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} X \subset V \end{eqnarray*}$ kompakt

Dass aus
$\begin{eqnarray*} V \in \mathcal O^* \end{eqnarray*}$ a) folgt hab ich denk ich hinbekommen. Wie macht man denn weiter?

Du willst bei b) zeigen, dass unter der angegebenen Voraussetzung $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kompakt ist ? Was sind deine Überlegungen dazu bzw. wo steckst du fest ?

Grüße Abakus smile

24.09.2007, 03:45

WebFritzi

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RE: einpunktkompaktifizierung

Zitat:

Original von gerhard23456
b) wenn $\begin{eqnarray*} \infty \in V \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} X \subset V \end{eqnarray*}$ kompakt

Da kann etwas nicht stimmen. Meinst du $\begin{eqnarray*} X\setminus V \end{eqnarray*}$ kompakt?

24.09.2007, 14:35

gerhard2345678

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Ja, da hat wieder was gefehlt. Es müsste heißen:

$\begin{eqnarray*} X \setminus V \subset X \end{eqnarray*}$ kompakt

Ich habs inzwischen aber rausbekommen.

24.09.2007, 23:13

Abakus

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Zitat:

Original von gerhard2345678
Ja, da hat wieder was gefehlt. Es müsste heißen:

$\begin{eqnarray*} X \setminus V \subset X \end{eqnarray*}$ kompakt

Auch hier ist von der Formulierung nicht zu erkennen, was nun kompakt sein soll, das $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ oder das $\begin{eqnarray*} X \setminus V \end{eqnarray*}$ ? (ok, wir können es erraten.)

Ansonsten wäre es interessant, wenn du deine Lösung vorstellen könntest.

Grüße Abakus smile

24.09.2007, 23:16

WebFritzi

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Zitat:

Original von Abakus

Zitat:

Original von gerhard2345678
Ja, da hat wieder was gefehlt. Es müsste heißen:

$\begin{eqnarray*} X \setminus V \subset X \end{eqnarray*}$ kompakt

Auch hier ist von der Formulierung nicht zu erkennen, was nun kompakt sein soll

Das sehe ich anders. Man schreibt ja auch: "Sei $\begin{eqnarray*} U\subset\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ offen." Augenzwinkern

25.09.2007, 00:07

Abakus

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Zitat:

Original von WebFritzi
Das sehe ich anders. Man schreibt ja auch: "Sei $\begin{eqnarray*} U\subset\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ offen." Augenzwinkern

Das würde ich noch verstehen, weil bei dir das "sei" dabei steht und so erkennbar ist, dass ein $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ mit bestimmten Eigenschaften gemeint ist.

Besser würde ich dennoch finden: sei $\begin{eqnarray*} U\subset\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ offen.

Bei " $\begin{eqnarray*} X \setminus V \subset X \end{eqnarray*}$ kompakt" ist das nicht ersichtlich, das kann heißen:

$\begin{eqnarray*} X \setminus V \subset X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist kompakt

oder

$\begin{eqnarray*} X \setminus V \subset X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \setminus V \end{eqnarray*}$ kompakt

Hier ist in beiden Fällen die Inklusion trivial.

Grüße Abakus smile

25.09.2007, 00:10

WebFritzi

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OK, am besten hätte da stehen müssen:

X\V in X kompakt.

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