Eigenwert & Eigenvektor einer 2x2 Matrix & Verständnisfrage

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23.09.2007, 22:37

petiz

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Eigenwert & Eigenvektor einer 2x2 Matrix & Verständnisfrage

Und noch ein Problem habe Ich.

Ich muss für folgende 2x2 Matrix die Eigenwerte und Eigenvektore bestimmen.

... ersteres habe ich soweit hinbekommen:

... dann halt die Klammern ausrechnen und per PQ-Formel oder per Binom-Erweiterung

und

ausrechnen die 5 und 3 sind.

Jetzt kommt der Punkt wo ich nicht weiter weiss! Wie kommt man an die Eigenvektoren? Soweit ich weiß braucht man das Gaußsche Eliminationsverfahren (das ich soweit halbwegs verstehe und anwenden kann) Und was für einen Sinn hat die Determinante? So Wie ich das sehe sind die Eigenwerte quasi nix anderes als notwendige Erweiterungen damit die Determinante 0 wird. Die kann ich zwar selbst mit einer 4x4 Matrix ausrechnen aber ich verstehe einfach nicht was da genau hintersteckt.. Jede Erklärung die ich bis jetzt gefunden habe ist einfach zu mathematisch als dass Ich sie verstehen könnte.

Hat jemand eine nicht ganz so mathematische Erklärung parat?

Ich hasse dieses stupide Ausrechnen ohne den Sinn zu kennen bzw. zu verstehen.

23.09.2007, 22:54

Frooke

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RE: Eigenwert & Eigenvektor einer 2x2 Matrix & Verständnisfrage

Zitat:

Original von petiz
Ich hasse dieses stupide Ausrechnen ohne den Sinn zu kennen bzw. zu verstehen.

Das gefällt mir. Zum Problem:

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum und $\begin{eqnarray*} F\in\operatorname{End}(V) \end{eqnarray*}$ , (also F ein Endomorphismus). Ein Eigenvektor $\begin{eqnarray*} 0\ne v\in V \end{eqnarray*}$ von F ist nun ein Vektor für den gilt:

$\begin{eqnarray*} F(v)=\lambda v, \lambda \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ K bezeichnet irgendeinen Körper und Lambda ist der Eigenwert.

Die obige Eigenschaft lässt sich umformulieren:

$\begin{eqnarray*} (F-\lambda \operatorname {id}_V)(v)=0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass die Abbildung
$\begin{eqnarray*} (F-\lambda \operatorname {id}_V) \end{eqnarray*}$ nicht injektiv ist*, also muss die Determinante verschwinden (deswegen sind die Eigenwerte die Nullstellen des charakteristischen Polynoms).

Zu den Eigenvektoren. Du weisst ja, dass

$\begin{eqnarray*} (F-\lambda \operatorname {id}_V)(v)=0 \end{eqnarray*}$

Also brauchst Du bloss noch ein v zu finden mit dieser Eigenschaft. Bestimme also den Kern dieser Abbildung und dann bist Du fertig (mit Gauss oder so). Die Lösungsmenge nennt man auch Eigenraum zum Eigenwert Lambda und schreibt:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Eig}(F,\lambda)=\ker (F-\lambda \operatorname {id}_V) \end{eqnarray*}$

*Der Kern ist ja nichttrivial.

(Aber das ist Algebra)...

23.09.2007, 22:59

therisen

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RE: Eigenwert & Eigenvektor einer 2x2 Matrix & Verständnisfrage

Zitat:

Original von Frooke

Zitat:

Original von petiz
Ich hasse dieses stupide Ausrechnen ohne den Sinn zu kennen bzw. zu verstehen.

Das gefällt mir.

Dir gefällt "dieses stupide Ausrechnen ohne den Sinn zu kennen bzw. zu verstehen"?

SCNR Big Laugh

Zitat:

Original von Frooke
Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum und $\begin{eqnarray*} F\in\operatorname{End}(V) \end{eqnarray*}$ , (also F ein Endomorphismus). (...)

$\begin{eqnarray*} F(v)=\lambda v, \lambda \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ K bezeichnet irgendeinen Körper und Lambda ist der Eigenwert.

Der Körper sollte schon der "Skalarenkörper" K (K-Vektorraum V) sein Augenzwinkern

23.09.2007, 23:05

Frooke

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RE: Eigenwert & Eigenvektor einer 2x2 Matrix & Verständnisfrage

Zitat:

Original von therisen
Dir gefällt "dieses stupide Ausrechnen ohne den Sinn zu kennen bzw. zu verstehen"?

Das natürlich auch, aber vor Allem doch die Abneigung smile

...

Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Der Körper sollte schon der "Skalarenkörper" K (K-Vektorraum V) sein Augenzwinkern

Da hätt ich besser geschrieben: Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum und $\begin{eqnarray*} F\in\operatorname{End}(V) \end{eqnarray*}$ , (also F ein Endomorphismus). (...)

Naja, so hatte ich das gemeint, aber danke für die Korrektur Freude

24.09.2007, 00:07

petiz

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werde ich geschlagen wenn ich sage dass eure erklärung genau das ist was ich mit "zu mathematisch" meinte? unglücklich

24.09.2007, 03:31

WebFritzi

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Zitat:

Original von petiz
werde ich geschlagen wenn ich sage dass eure erklärung genau das ist was ich mit "zu mathematisch" meinte? unglücklich

Nein, das wirst du nicht. Ich gehe davon aus, dass du nicht weißt, was ein Endomorphismus ist. Wir bleiben mal bei Matrizen. Sei also A eine nxn-Matrix. Diese ist entweder invertierbar oder nicht. "Invertierbar" bedeutet, dass die inverse Matrix $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert. Die inverse Matrix ist dadurch ausgezeichnet, dass

$\begin{eqnarray*} AA^{-1} = A^{-1}A = E \end{eqnarray*}$

gilt. Dabei ist E die Einheitsmatrix. Nun gilt:

$\begin{eqnarray*} A \;{\rm invertierbar} \Longleftrightarrow {\rm det}(A) \neq 0. \end{eqnarray*}$

Dabei bezeichnet det(A) die Determinante von A. Es gilt aber auch

$\begin{eqnarray*} A \,\text{ nicht invertierbar} \Longleftrightarrow\,\text{ Es existiert ein Vektor } x\neq\vec{0}, \text{ so dass } Ax = \vec{0}. \end{eqnarray*}$

Nun zu den Eigenwerten einer Matrix. Sei B eine nxn-Matrix. Eine Zahl t heißt Eigenwert von B, wenn es einen Vektor $\begin{eqnarray*} x\neq\vec{0} \end{eqnarray*}$ gibt mit Bx = tx. Bezeichnen wir mit E die Einheitsmatrix (diese hat auf der Diagonalen Einsen und sonst nur Nullen), dann kann man Bx = tx auch schreiben als Bx = tEx oder auch Bx - tEx = 0. Jetzt klammern wir x aus. Das geht auch bei Matrizen: (B - tE)x = 0. Also ist die Ausgangsgleichung Bx = tx äquivalent zu (B - tE)x = 0.
Nach dem obigen Krimskrams ist die Matrix B - tE also nicht invertierbar. Also ist det(B - tE) = 0. Und das ist genau das, was du die ganze Zeit verwendest. Nehmen wir deine Matrix von oben:

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix}-3 & -12\\4 & 11\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Dann ist nämlich
$\begin{eqnarray*} {\rm det}(B - tE) &=& {\rm det}\left(\;\; \begin{pmatrix}-3 & -12\\4 & 11\end{pmatrix} - t\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\;\;\right)\\ &=& {\rm det}\left(\;\; \begin{pmatrix}-3 & -12\\4 & 11\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}t & 0\\0 & t\end{pmatrix}\;\;\right)\\ &=& {\rm det}\left(\;\; \begin{pmatrix}-3-t & -12\\4 & 11-t\end{pmatrix}\;\;\right)\\ &=& \left| \begin{matrix}-3-t & -12\\4 & 11-t\end{matrix}\right|. \end{eqnarray*}$

Und das setzt du ja gleich Null, also det(B - tE) = 0.

24.09.2007, 11:59

Ano302

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an diene Eigenvektoren kommst du, in dem du bei deinen neu erhaltenen Matrizen die Eigenwerte jeweils für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ einsetzt und die matritzen gleich 0 setzt.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3-\lambda & -12 \\ 4 & 11-\lambda \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Jetzt musst du für $\begin{eqnarray*} \lambda=3 \end{eqnarray*}$ den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ berechnen und einmal für $\begin{eqnarray*} \lambda=5 \end{eqnarray*}$

Als lösung hast du dann 2 orthogonal aufeinanderstehende Vektoren

24.09.2007, 14:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ano302
... und die matritzen gleich 0 setzt.

Schlecht formuliert. In der Sprache der Algebra wird der Kern der Matrix bestimmt, sie wird aber nicht gleich Null gesetzt.

Zitat:

Original von Ano302
Als lösung hast du dann 2 orthogonal aufeinanderstehende Vektoren

Wieso sollten die Eigenvektoren orthogonal zueinander sein? verwirrt

24.09.2007, 14:58

Ano302

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hmmm bin eigentlich chemiker. Entschuldigung für die schlechte formulierung, aber so haben wir es beigebracht bekommen.

zu der orthogonalität war ich mir sicher das stand so in meinem mathebuch. Tut mir leid wenn dem nicht so ist.

24.09.2007, 15:29

WebFritzi

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Zitat:

Original von Ano302
zu der orthogonalität war ich mir sicher das stand so in meinem mathebuch. Tut mir leid wenn dem nicht so ist.

Bei symmetrischen Matrizen ist das so, nicht aber im allgemeinen.

24.09.2007, 16:16

Frooke

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Zitat:

Original von petiz
werde ich geschlagen wenn ich sage dass eure erklärung genau das ist was ich mit "zu mathematisch" meinte? unglücklich

Versuche doch mal genau zu orten, was Du nicht verstehst, oder was man in alltäglichere Sprache übersetzen soll...

22.08.2010, 14:46

fatzke

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Die physikalische Motivation für die ganze Eigenwertrechnerei ist, dass man Resonanzen eines physikalischen Systems (schwingender Stab, elektrische Schaltung, ...) ["Eigenmoden"] ausrechnen kann.

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Eigenwert & Eigenvektor einer 2x2 Matrix & Verständnisfrage

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