Gaußsche Zahlenebene

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16.03.2005, 17:49	ReneS79	Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußsche Zahlenebene Hallo ! Vielleicht könnt ihr mir ja bei folgender Aufgabe helfen, da ich hier überhaupt keinen Ansatz finde. Die Aufgabenstellung lautet: Für welche Punkte der Gaußschen Zahlenebene gilt: \|z+1\|=< 2*\|z-1\| Wahrscheinlich ersta irgendwie die Beträge auflösen. Hmmm... Vielen Dank Rene
16.03.2005, 18:12	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze z=a+bi ein und dann kannst du ja erstmal die Beträge nach ihrer Definition in Wurzeln umschreiben und danach kannst du die Gleichung vereinfachen.
16.03.2005, 22:54	ReneS79	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstma ! Also wenn ich jetzt erstma das umschreibe \|a + bi + 1\|=< 2\|a + bi - 1\| Jetzt die Beträge. Hoffe ich mache das jetzt richtig so! $\begin{eqnarray} \sqrt{a² + (bi)² + 1²} \leq 2\sqrt{a + (bi)² - 1²} \end{eqnarray}$ So jetzt i² = -1. Müste dann folgendes rauskommen. $\begin{eqnarray} \sqrt{a² + b²} \leq 2\sqrt{a + b²} \end{eqnarray*}$ Wenn das jetzt so richtig sein soll. Was müste ich jetzt als nächstes machen? Könnte ja eigentlich die beiden Wurzelausdrücke kürzen. Aber dann ergibt das ja alles keinen Sinn mehr, odA? gruss René
16.03.2005, 22:59	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nein das stimmt so nicht. Du musst erst a+ib+1 und a+ib-1 berechnen bevor du den Betrag nimmst. Bzw. überlege dir erst mal, was die komplexe Zahl ist, von der du den Betrag nimmst. Was ist denn der Realteil und was der Imaginärteil? Gruß Anirahtak
16.03.2005, 23:03	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist nicht $\begin{eqnarray} \|x+iy\| = \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ ?
16.03.2005, 23:08	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
mmmh, kennst dich wohl noch nich so gut mit komplexen Zahlen aus. 1. Ist $\begin{eqnarray} z=c+di \end{eqnarray}$ eine komplexe Zahl, dann heißt c Realteil und d Imaginärteil von z. Es gilt: $\begin{eqnarray} \|z\|=\|c+di\|:=\sqrt{c^2+d^2} \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} \|z\|=\|c+di\|=\sqrt{c^2+(di)^2}=\sqrt{c^2-d^2} \end{eqnarray}$ !!!! 2. $\begin{eqnarray} a+bi+1=(a+1)+bi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a + bi - 1=(a-1)+bi \end{eqnarray}$ Was ist hier jeweils Realteil und was Imaginärteil? Kannst du jetzt deinen Fehler verbessern? Kannst das ja auch durch Einsetzen für c bzw. d in die Formel oben machen. Auch wenn $\begin{eqnarray} \sqrt{a^2 + (bi)^2 + 1^2} \leq 2\cdot \sqrt{a^2 + (bi)^2 - 1^2} \end{eqnarray}$ falsch ist, ist mir absolut und völlig unklar, wie du davon auf die nächste Zeile kommst, aber das ist unwichtig! PS: Schreibe bitte in latex ^2 und nicht ²!!! Letzteres wird von manchen Browsern nicht angezeigt.
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16.03.2005, 23:37	ReneS79	Auf diesen Beitrag antworten »
Also dann vielleicht so $\begin{eqnarray} \sqrt{(a+1)^2+b^2)} \leq 2\sqrt{(a-1)^2+b^2)} \end{eqnarray*}$ Sonst weis ich auch nicht wie ihr das meint. gruss Rene
17.03.2005, 08:19	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
genau! (Natürlich ohne Klammer hinter dem b²)
17.03.2005, 08:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann die Aufgabe natürlich elementar lösen. Es gibt aber auch eine Lösung, die Eigenschaften von Möbius-Transformationen verwendet. Die Ungleichung $\begin{eqnarray} \|z+1\| \leq 2 \|z-1\| \end{eqnarray}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} \left\| \frac{z+1}{z-1} \right\| \leq 2 \end{eqnarray}$ Betrachtet man also auf der durch Hinzunahme von $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ zur Riemannschen Zahlenkugel erweiterten Gaußschen Zahlenebene die Möbius-Transformation $\begin{eqnarray} w = \varphi(z) = \frac{z+1}{z-1} \end{eqnarray}$ so bedeutet die Aufgabe gerade, das Urbild der abgeschlossenen Kreisscheibe um 0 vom Radius 2 zu bestimmen. Die Umkehrabbildung von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} z = \varphi^{-1}(w) = \frac{w+1}{w-1} \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist also involutorisch). Ein Möbius-Transformation bildet bekanntlich Kreise auf Kreise ab, wobei in diesem Zusammenhang Geraden als Kreise durch $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ angesehen werden. Die Urbilder der beiden Kreispunkte 2 und -2 sind $\begin{eqnarray} \varphi^{-1}(2) = 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varphi^{-1}(-2) = \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} \varphi^{-1}(1) = \infty \end{eqnarray}$ wird die reelle Gerade durch $\begin{eqnarray} \varphi^{-1} \end{eqnarray}$ auf sich selbst abgebildet. Also muß auch der Mittelpunkt des Urbildkreises auf der reellen Achse liegen. Das kann dann aber nur die Mitte von $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ und 3 sein, also $\begin{eqnarray} \frac{5}{3} \end{eqnarray}$ . Das gesuchte Urbild ist daher das Äußere des Kreises um $\begin{eqnarray} \frac{5}{3} \end{eqnarray}$ vom Radius $\begin{eqnarray} \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ einschließlich Rand.
17.03.2005, 09:32	Ace Piet	Auf diesen Beitrag antworten »
Holzhammermethode... Für z= x +iy erhält man (x+1)^2 + y^2 =< 4 (x-1)^2 + 4 y^2 Alles auf eine Seite und "durch 3"... 0 =< x^2 - 10/3 x + y^2 + 1 quadratische Ergänzung +-(5/3)^2 + die Konstante rüber... 16/9 =< (x - 5/3)^2 + y^2 Aha!
26.03.2005, 11:59	ReneS79	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry das ich mich jetzt erst wieder melde. War eine Woche vom Netz getrennt. So, jetzt nochma zu meiner Aufgabe. Also die Version von Leopold kann ich nicht nachvollziehen. Das fällt mir der Rechenweg von Ace Piet schon etwas leichter und verständlicher zu sein. Trotzdem habe ich irgedwie noch ein kleines Prob. um auf das entgültige Erg. zu kommen. Habe jetzt nochma soweit durchgerechnet wie es möglich war. Und zwar komme ich doch dann irgendwann auf folgende Gleichung $\begin{eqnarray} 0\geq -3a^2 + 10a + 5 - 3b^2 \end{eqnarray}$ jetzt alles durch 3 $\begin{eqnarray} 0\geq a^2 - \frac{10}{3}a - \frac{5}{3} + b^2 \end{eqnarray}$ Also im Prinzip das, was Ace Piet hat. Jetzt weis ich nur nicht, was das bringen soll die 5/3 und das b² rüber zubringen und wie er auf das Quadrat an den 5/3 kommt. Und was er mit der quadr. Ergänzung meint. Wie komme ich auf die entgültigen Ergebnisse?? Wer kann mir da nochmal helfen??? Vielen Dank Rene
26.03.2005, 12:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine elementare Rechnung geht so. Ich schreibe $\begin{eqnarray} z = x + \operatorname{i}y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ als Real- bzw. Imaginärteil von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \|z+1\| \leq 2 \; \|z-1\| \ \ \Leftrightarrow \ \ \|z+1\|^2 \leq 4 \; \|z-1\|^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ (x+1)^2 + y^2 \leq 4 \left( (x-1)^2 +y^2 \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \ \ x^2 + 2x + 1 + y^2 \leq 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ 3x^2 -10x + 3 + 3y^2 \geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \ \ x^2 - \frac{10}{3}x + 1 + y^2 \geq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( x - \frac{5}{3} \right)^2 - \frac{16}{9} + y^2 \geq 0 \ \ \text{(quadratische Ergänzung)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \ \ \left( x - \frac{5}{3} \right)^2 + y^2 \geq \left( \frac{4}{3} \right)^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left\| z - \frac{5}{3} \right\|^2 \geq \left( \frac{4}{3} \right)^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left\| z - \frac{5}{3} \right\| \geq \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ Diese Ungleichung beschreibt das Äußere eines Kreises einschließlich Rand mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray} z_0 = \frac{5}{3} \end{eqnarray}$ und Radius $\begin{eqnarray} r = \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ .
26.03.2005, 13:16	ReneS79	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr vielen Dank. Was du mir aber nochma erklären must ist, wie man dort auf den Ansatz der quadr. Ergänung kommt um somit das korrekte Erg. zu erhalten. gruss Rene
26.03.2005, 15:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
quadratische Ergänzung = eine binomische Formel erzwingen Beispiel: $\begin{eqnarray} x^2 + 6x + 8 = 1 \end{eqnarray}$ soll gelöst werden. Den Koeffizienten vor $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ (also $\begin{eqnarray} 6 \end{eqnarray}$ ) halbieren und eine binomische Formel ansetzen: $\begin{eqnarray} (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \end{eqnarray}$ Man sieht, das gibt fast das Gewünschte. Nur die $\begin{eqnarray} 9 \end{eqnarray}$ statt der $\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray}$ ist falsch. Das korrigiert man, indem man noch $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ subtrahiert: $\begin{eqnarray} (x+3)^2 - 1= x^2 + 6x + 8 \end{eqnarray}$ Und jetzt setzt man das in der Ausgangsgleichung ein: $\begin{eqnarray} x^2 + 6x + 8 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x+3)^2 - 1 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x+3)^2 = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+3 = \pm \sqrt{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = -3 \pm \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Diesen Trick auf $\begin{eqnarray} ax^2 + bx + c = 0 \end{eqnarray}$ angewandt, erhält man die bekannte Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung.

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