Kreisgleichung für R^3

16.03.2005, 18:28	Thomas	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreisgleichung für R^3 Hi, heute im Matheunterricht sind wir auf den Punkt gekommen, dass keine Kreisgleichung für den R^3 existiert, sondern lediglich für den R^2. Also habe ich folgendes vorgeschlagen: Man nimmt eine Gleichung für eine Ebene, z.b. $\begin{eqnarray} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \end{eqnarray}$ Und außerdem eine Gleichung für eine Kugel, z.b. $\begin{eqnarray} x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1 \end{eqnarray}$ Nun müsste ja ein Umformen und Gleichsetzen der beiden Gleichungen als Ergebnis eine Gleichung zur Folge haben, die den Schnittkreis von Kugel und Ebene darstellt. Damit wäre eine Kreisgleichung für den R^3 vorhanden. (Oder man erhält einen Widerspruch -> Ebene schneidet die Kugel nicht.) Kann man dies so machen? Oder hab ich da irgendwo nen Denkfehler? Danke & Gruß, Thomas
16.03.2005, 18:49	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, deine Überlegungen sind richtig. Ich hab mal nen Spezialfall. Natürlich kann man Kreise, deren Ebene, in der sie liegen, parallel zur xy-Ebene ist, durch eine Gleichung darstellen. Sagen wir einmal, wir wollen einen Kreis mit dem Mittelpunkt (a; b; c) und dem Radius r, dessen Ebene, in der er liegt, parallel zur xy-Ebene ist, darstellen, dann wird er durch die Gleichungen $\begin{eqnarray} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2,\ z=c \end{eqnarray}$ beschrieben. Die kriegt man auch als Spezialfall der allgemeinen Kugelgleichung mit dem Mittelpunkt (a; b; c) und Radius r. Die ist ja $\begin{eqnarray} (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 \end{eqnarray}$ Setzt man hier $\begin{eqnarray} z=c \end{eqnarray}$ , so bekommt man auch die obigen Gleichungen. Will man auch Kreise erreichen, deren Ebene, in der sie liegen, nicht parallel zur xy-Ebene ist, so würde ich es auch so wie du machen und einfach einen Kreis mit der gewünschten Ebene schneiden.
17.03.2005, 10:36	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube der wichtige Punkt ist hier das Wort 'Gleichung' und nicht 'Gleichungen' Wenn man im R^3 nur eine Gleichung hat, wird damit eine 2-dimensionale Menge, eine gekrümmt Fläche beschrieben. R^3 hat 3 Freiheitsgrade, mit einer Gleichung nimmst du einen weg, bleiben 2 übrig. Wenn du jetzt einen Kreis haben willst, ist das ein 1-dimensionales Objekt, eine Kurve, wenn du die im R^3 haben willst, brauchst du 2 Gleichungen um 2 Freiheitsgerade wegzunehmen. Das heisst mit 2 Gleichungen ist es überhaupt kein Problem einen Kreis im R^3 darzustellen, wie in euren BSP, aber mit nur einer Gleichung geht es nicht.
18.03.2005, 11:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Es gibt zwar keine explizite Gleichung (in x,y,z), aber eine Parameterform des Kreises in $\begin{align} R^3 \end{align}$ . Eine Kreisgleichung, in der der Ortsvektor OM zum Mittelpunkt M und zwei in der Kreisebene liegenden Vektoren U und V, die aufeinander senkrecht stehen und den Betrag r haben, mittels Winkelfunktionen des Parameters miteinander verknüpft werden. Die beiden Vektoren (U, V) müssen in der Kreisebene liegen, aufeinander senkrecht stehen und jeweils den Betrag r haben. Die Parameterform des Kreises k[M;r;E]: *X = M + Ucos(t) + Vsin(t)* --- t € IR, U, V € E, Winkel(U,V) = 90°, \|U\| = \|V\| = r Beispiel: Gegeben: M(-40\|30\|20), ein Kreispunkt A(-11;10;-2), der Kreis liegt in E: (2;-2;1).X = -160 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Zunächst ist r = \|MA\|, also r = 15 Wir haben nun zwei aufeinander senkrecht stehende Vektoren U, V in E, die die Länge 15 haben, zu ermitteln: Der erste (U) ist MA = (-11;-10;-2), \|MA\| = r = 15. Der zweite, V, muss sowohl senkrecht auf U, als auch auf (2;-2;-1) [Normalvektor der Ebene] stehen, er ist also das Vektorprodukt von (-11;-10;-2) und (2;-2;-1)! $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \ 2 & -11 & i \\ -2 & -10 & j \\ -1 & -2 & k \end{vmatrix} = V = (-6;15;-42), abgekuerzt \ (2;-5;14) \end{eqnarray}$ Letzterer hat (zufällig) bereits die geforderte Länge 15 (da 4 + 25 + 196 = 225). Die Kreisgleichung lautet also *X = (-40;30;20) + (-11;-10;-2)cos(t) + (2;-5;14)sin(t)* Das Schöne an der Parametergleichung des Kreises ist letztendlich, dass man durch Variation von t jeden beliebigen Punkt des Kreises leicht erreichen kann. Gr mYthos
07.04.2005, 18:47	Thomas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, spät aber dennoch herzlichen Dank Die Parameter-Form werde ich gleich mal meinem Mathe-Lehrer vorführen Gruß, Thomas
30.10.2006, 12:42	Fire_the_Master	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung Diese Parameterform ist ja sehr schön und funktioniert ja offensichtlich auch. Aber wie kommt man darauf. Wieso müssen diese beiden Vektoren in der Schnittebene senkrecht aufeinanderstehen. Und wie kann man diese Parameterform herleiten ? Es lässt sich ja am Einheitskreis sehr gut veranschaulichen, aber ich wüsste gern, wie sich das alles exakt belegen lässt. Kann mir jemand helfen ??? Danke schon mal.
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30.10.2006, 14:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, $\begin{eqnarray} \vec{M} = \vec{OM} \end{eqnarray}$ hat zunächst die Funktion eines Stützvektors, er führt zum Mittelpunkt des Kreises. Die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{U} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{V} \end{eqnarray}$ , ausgehend von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ , müssen deshalb normal aufeinander stehen, weil nur dann jeder beliebige andere Punkt $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ der Kreisperipherie durch die Linearkombination $\begin{eqnarray} \vec{X} = \vec{M} + \vec{U} \cdot cos(t) + \vec{V} \cdot sin(t) \end{eqnarray}$ erreichbar wird. $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ist der Winkel von $\begin{eqnarray} \vec{MX} \end{eqnarray}$ zu einem der Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{U} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{V} \end{eqnarray}$ . Veranschauliche dir diesen Sachverhalt, indem du dies alles mal in einen Kreis einzeichnest und die rechtwinkeligen Dreiecke betrachtest, die von $\begin{eqnarray} \vec{MX} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec{U} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \vec{V} \end{eqnarray}$ gebildet werden. mY+

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