vergleich von funktionen über ableitung+gegebenen punk |
| 17.03.2005, 12:43 | michael84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| vergleich von funktionen über ableitung+gegebenen punk Ich musste für eine Aufgabe zeigen: für x>0 gilt 1-(1/x)=< ln(x) Dafür stellte ich ein Lemma auf: seien f,g differenzierbare reelle funktionen und gelte für ein xi aus def.Bereich: f(xi)<=g(xi) sowie für alle x>xi gelte: f'(xi)<g'(xi) Dann gilt für alle x>xi: f(x)<g(x) Dieses Lemma ist leicht zu beweisen (differenzfunktion d(x)=g(x)-f(x) bilden), allerdings bräuchte ich noch analoges für den fall x<xi aber f'(x)>g'(x) für x<xi und f(x),g(x)<0 Hat jemand eine Idee? |
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| 17.03.2005, 13:13 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: vergleich von funktionen über ableitung+gegebenen punk
Gegenbeispiel: f(x) = x, g(x) = 2x und xi = 0
Was ist jetzt die Voraussetzung und was die Behauptung? Noch Tipp: Darfst du die Ungleichung ln(x) <= x - 1 verwenden? Dann geht es sehr schnell. |
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| 17.03.2005, 16:03 | swerbe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für den logarithmus naturalis gilt (durch seine herleitung,def. bestimmt): L(x)<=x-1 , für alle und L(x)=ln(x) Ich nehme mal an, dass ihr so oder so ähnlich den ln(x) im studium hergeleitet habt....so solltest du er verwenden dürfen. der rest ist nur eine frage der richtigen abschätzung, da am ende genau gelten muss: 1-(1/x)<=L(x)<=x-1 und L(x)=ln(x) gruß swerbe |
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