Stammfunktion

17.03.2005, 14:45

Usefull Idiot

Stammfunktion

Hallo.

Wie kann ich die Stammfunktion folgender Funktionenschar ermittel?

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{ln(x)+k}{x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^+; \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Hatte mir zuerst überlegt das ich das zerlege in
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{ln(x)}{x}+\frac{k}{x} \end{eqnarray*}$
um dann mithilfe der Summenregel beide Summanden mit Hilfe der rückwärts angewanten Quotientenregel hochzuleiten. Kriegs aber nicht hin.

Gruss Sven smile

17.03.2005, 14:52

iammrvip

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Du kannst beim ersten Summanden substitieren:

$\begin{eqnarray*} u = \ln x \end{eqnarray*}$

Kennst du die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ? Ja, oder??

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{x}\mathrm dx = \ln|x| + C \end{eqnarray*}$

17.03.2005, 14:58

derkoch

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@ iammrvip: könnte man auch $\begin{eqnarray*} u=ln(x)+k \end{eqnarray*}$ substituieren?
man käme doch auch zum ergebnis oder?
Ist nur ne frage gell! keine kritik oder kommentar, gell! Idee!

17.03.2005, 15:01

iammrvip

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Natürlich könnte man das, aber wusste nicht, ob das Usefull Idiot behindert hätte verwirrt

Kann man natürlich machen.

/edit: Es hat natürlich auch den Vorteil, dass man dann nicht mehr zusammenfassen und erweitern muss Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} u = \ln x + k \end{eqnarray*}$

ist die bessere Wahl, wenn das UI nicht irritiert Augenzwinkern

17.03.2005, 19:40

Usefull Idiot

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Dankeschön, ich versuchs mal mit deinem Tip smile

Hmm, ich kriegs nicht hin:/
Kann mir einer zeigen wies geht? Muss dass bis morgen haben.

Ich habs mal mit partieller Integration versucht und bin zumindestens weiter als vorher smile

Nun hab ich als Stammfunktion für den ersten Summanden

$\begin{eqnarray*} [\frac{1}{x^2}]_{b}^a \end{eqnarray*}$ raus. Ist das schon mal richtig?

Wenn ich dann aber beim 2. Summanden, also k/x es mit partieller Integration versuche komme ich bis zu dieser Stelle:

$\begin{eqnarray*} [k]_{b}^a - \int_{b}^{a}~-\frac{k}{x}~dx \end{eqnarray*}$

Das Integral ist ja bis auf das Minus das selbe wie die ursprüngliche Funktion, bringt also nichts.
Wie kann ich vom 2. Summanden die Stammfunktion bestimmen?

edit: Dreifachpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion!!! (MSS)

17.03.2005, 22:20

kikira

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Zitat:

Original von Usefull Idiot
Ich habs mal mit partieller Integration versucht und bin zumindestens weiter als vorher smile

da machst du was falsch, denn leite doch 1/x² ab, dann wirst sehen, dass da nicht (lnx)/x rauskommt.

lg kiki

edit:

außerdem...wieso integrierst du k/x mit partieller Integration? Die brauchst doch nur, wenn du x * x hast. k ist aber wie eine Zahl, als ob hier stehen würde:

3/x >> wie würdest du das differenzieren? Wie würdest du das integrieren?

lg kiki

17.03.2005, 22:32

Usefull Idiot

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Stimmt, wir hatten glaub ich mal im Unterricht das die Stammfunktion von 1/x ln (x) ist. Wäre dann demnach die Stammfunktion k*ln(x)?

Zum ersten Summanden: Ist es denn möglich die Stammfunktion mit partieller Integration zu bestimmen? Wüsste jetzt nicht was ich da falsch gemacht haben soll.

17.03.2005, 22:51

kikira

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Nein, soviel ich auf die Schnelle seh, geht das nicht mit partieller, weil du dann unter dem Integral wieder stehen hättest: 1/x * lnx....

hmm...obwohl...das wär dann die Ausgangsposition und dann könnte man das Integral auf die linke Seite bringen.....und dann durch 2 dividieren....müsst ich erst durchrechnen, ob dann wohl das Richtige rauskommt.

Deswegen mach es lieber mit Substitution, so wie iammrvip vorgeschlagen hat.
Das haut bestimmt hin, weil er sich supi mit Integral auskennt.

lg kiki

p.s. und ja...k * lnx >> das stimmt!

17.03.2005, 22:53

Usefull Idiot

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hmm, ok, dann muss ich erst mal lernen wie substituelle Integration geht verwirrt

Ich mach mich mal an die Bücher smile

Hmm, hab heute erfahren das wir das mit partieller Integration lösen sollen. Kann mir jemand helfen?

edit: Doppelpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion! (MSS)

18.03.2005, 16:37

kikira

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RE: Stammfunktion
u = lnx
u' = 1/x

v' = 1/x
v = lnx

partielle Integration: uv - Integral von ( u' * v) dx

dann kommt man auf folgende Zeile:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x} * lnx~dx = ln^{2}x - \int~\frac{1}{x} * lnx~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 * \int~\frac{1}{x} * lnx~dx = ln^{2}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x} * lnx~dx = \frac{ln^{2}x}{2} \end{eqnarray*}$

lg kiki

18.03.2005, 16:43

Usefull Idiot

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Arrg, so einfach ist das?? Hätte ich doch selbst drauf kommen müssen das ich das auf die andere Seite bringen kann und dann durch 2 teilen kann. Hammer

Vielen Dank Mit Zunge

19.03.2005, 01:14

iammrvip

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Substitution

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\ln x + k}{x}\mathrm dx \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} u &= \ln x + k \\ \mathrm dx &= x\mathrm du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} &\int\frac{u}{x}x\mathrm du \\ &= u\mathrm du \\ &= \frac{1}{2}u^2 + C \\ &= \frac{(\ln x + k)^2}{2} + C \end{eqnarray*}$

oder kurz:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\ln x + k}{x}\mathrm dx = \left[\int u \mathrm du\right]_{u = \ln x + k} = \frac{(\ln x + k)^2}{2} + C \end{eqnarray*}$

19.03.2005, 09:09

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von iammrvip
...

$\begin{eqnarray*} =\frac{(\ln x + k)^2}{2} + C \end{eqnarray*}$

oder kurz:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\ln x + k}{x}\mathrm dx = \left[\int u \mathrm du\right]_{u = \ln x + k} = \frac{(\ln x + k)^2}{x} + C \end{eqnarray*}$

Vergleich mal deine beiden Ergebnisse Augenzwinkern

19.03.2005, 19:30

iammrvip

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Sorry, Tippfehler traurig

...

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