Bestimmung eine Funktionsgleichung bei vorgegebener Fläche

17.03.2005, 17:03

lone

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Bestimmung eine Funktionsgleichung bei vorgegebener Fläche

Hiho,

Der Graph einer Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=-a^2 x^2 + 2 \end{eqnarray*}$ schließt im 1. Quadranten mit den Achsen eine Fläche mit der Maßzahl $\begin{eqnarray*} \frac{16}{3} \end{eqnarray*}$ ein. Wie groß ist a?

Ich find irgendwie kein Lösungsansatz, jemand ne Idee?

17.03.2005, 17:05

JochenX

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wie berechnet man denn allgemein den flächeninhalt den eine parabel mit der x-achse einschließt?

allgemeine form mit a integrieren (grenzen sind die vorher berechneten nullstellen).
danach flächeninhalt(a) bestimmen und damit a ausrechnen.

17.03.2005, 17:23

lone

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Hi und danke für deine Antwort,

wie kann ich denn die Nullstellen berechnen wenn ich die Dehnung/Stauchung
nicht kenne?

17.03.2005, 17:32

JochenX

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berechne die Nullstellen ebenfalls in abhängigkeit von a.

die gerade f(x)=mx+2 z.b. hat in abhängigkeit von m diese nullstelle:
mx+2=0 <=> mx=-2 <=> x=-2/m

das jetzt mal für deine parabel

17.03.2005, 17:59

lone

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$\begin{eqnarray*} 0=-a^2x^2+2 | : -a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=x^2-\frac{2}{a^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1/x_2=+-\sqrt{\frac{2}{a^2}} \end{eqnarray*}$
also dann
$\begin{eqnarray*} \int_{-\sqrt{\frac{2}{a^2}}}^{+\sqrt{\frac{2}{a^2}}}~-a^2x^2+2~dx \end{eqnarray*}$

und ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{a^2}}= \sqrt{2a^{-2}}=2a^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

17.03.2005, 18:48

JochenX

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Zitat:

Original von lone
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{a^2}}= \sqrt{2a^{-2}}=2a^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

achtung! wurzel 2 statt 2.
du kannst teilweise radizieren.... dabei bleibt die 2 aber unter der wurzel!

nun integrieren

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17.03.2005, 20:01

iammrvip

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@lone
Nutze die Symmetrie, sonst ist das viel zu viel Aufwand!

$\begin{eqnarray*} A = \int_{0}^{\frac{\sqrt 2}{a}}~\left(-a^2x^2+2\right)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

und um Summen immer eine Klammer setzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

(, ist aber nur Formsache)

17.03.2005, 20:19

lone

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hmm, komm irgendwie mit diesen Zahlen nicht klar,
ich kenn ja das Ergebnis $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{\frac{1}{8}} =0,3536 = f(x)=-\frac{1}{8} x^2 + 2 \end{eqnarray*}$

aber ich komm immer auf was anderes

17.03.2005, 20:31

kikira

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Zitat:

Original von iammrvip
@lone
Nutze die Symmetrie, sonst ist das viel zu viel Aufwand!

$\begin{eqnarray*} A = \int_{0}^{\frac{\sqrt 2}{a}}~\left(-a^2x^2+2\right)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

und um Summen immer eine Klammer setzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

(, ist aber nur Formsache)

Für diese Formsache gibts oft bei uns von 8 Punkten für ein Beispiel 2 Punkte Abzug - auch wenn das Beispiel elendslang ist.

edit:

@lone

Mit Kommazahlen kommst da nicht weiter und du kannst ja nicht etwas einsetzen, das du eigentlich noch nicht kennen solltest. Denn du sollst ja a berechnen.
Wo liegt nun dein Problem? Iammrvip hat aufgeschrieben, was du berechnen sollst. Nur darfst dann nicht A einsetzen, sondern nur A/2, weil die Kurve ja symmetrisch ist bezügelich der y-Achse und wenn man von 0 bis zur 1. Nullstelle integriert, kriegt man nur die Hälfte des Flächeninhalts.
Daher A/2.
Oder wo liegt nun dein Problem?
Poste doch mal, was du gerechnet hast.

lg kiki

17.03.2005, 20:33

iammrvip

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Echt, naja ich kenne ja leider bis jetzt nur das Schulniveau traurig

traurig

das sieht man es wahrscheinlich noch nicht so... verwirrt

verwirrt

17.03.2005, 20:39

kikira

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Ich mein ja, dass es in der Schule dafür 2 Punkte Abzug gibt. Nicht an jeder Schule und bei jedem Lehrer, aber doch recht häufig.
Find das irgendwie bissal überzogen, von 8 Punkten für ein aufwändiges Beispiel 2 Punkte dafür abzuziehen, aber ok....dx ist eigentlich mit allem multipliziert und ohne die Klammer gilt es eben nur für einen Ausdruck und dann könnte man nicht integrieren.

lg kiki

17.03.2005, 20:56

lone

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ich weiß nicht wie ich das einsetzen soll
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} a^{-2} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$

17.03.2005, 21:03

JochenX

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} a^{-2} \end{eqnarray*}$ ist dein x-wert.... also immer rein damit...

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2} a^{-2})^3 \end{eqnarray*}$

20.03.2005, 16:44

lone

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= $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\sqrt{2}a^{-1}}~-a^2x^2+2~dx \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} [-\frac{1}{3}a^2x^3+2x]_{0}^{\sqrt{2}a^{-1}} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{3}a^2(\sqrt{2}a^{-1})^3+2(\sqrt{2}a^{-1})) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}\cdot\sqrt{2}\cdot a^{-1}+2\cdot \sqrt{2}\cdot a^{-1} \end{eqnarray*}$
wo ist mein Fehler?

20.03.2005, 16:57

JochenX

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erstens: (WURZEL 2)³ =2* WURZEL(2), da fehlt wohl ne 2 bei dir
dann: wenn du nur von 0 bis ... integrierst, so musst du dein integral *2 nehmen, um den ganze n flächeninhalt zu bekommen.

danach dein ergebnis mit a mit dem flächenwert gleichsetzen und a bestimmen.

20.03.2005, 17:13

lone

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Zitat:

Original von LOED
erstens: (WURZEL 2)³ =2* WURZEL(2), da fehlt wohl ne 2 bei dir

meinst du das?
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{a^2}}= \sqrt{2a^{-2}}=\sqrt{2}a^{-1} \end{eqnarray*}$

20.03.2005, 20:42

JochenX

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$\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{3}a^2(\sqrt{2}a^{-1})^3+2(\sqrt{2}a^{-1})) = -\frac{1}{3}\cdot\sqrt{2}\cdot a^{-1}+2\cdot \sqrt{2}\cdot a^{-1} \end{eqnarray*}$

hier.... vorne hast du $\begin{eqnarray*} a^2(\sqrt{2}a^{-1})^3 \end{eqnarray*}$ und das wird zu $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\cdot a^{-1} \end{eqnarray*}$

die a sind okay (2-3=-1) aber wieso nimmst du die "wurzel 2" nicht hoch 3?

20.03.2005, 20:49

kikira

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Wurzeln potenzieren:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x})^5 = (x^{\frac{1}{2}})^5 = x^{\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$

edit:
ups...zu früh auf senden gedrückt.

23.03.2005, 18:11

lone

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Dankeschön, jetzt haut es bei mir auch hin Freude

Freude

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