Poolarkoodinaten und LaPlace Operator

17.03.2005, 18:00

Protector1982

Poolarkoodinaten und LaPlace Operator

Immer wieder tauchen in Klausuren (Uni) Funktionen in Poolarkoordinaten auf, deren Ableitung man nach $\begin{eqnarray*} f_{xx}, f_{x},\dots \end{eqnarray*}$ berechnen soll. Wirklich klar sind die Formeln für den Umgang der Ableitung von Poolarkoordinaten in Kartesische Ableitungen nicht.
Kann mir dass jemand vielleicht genauer erklären?
Aufgaben sind z.B.

Gegeben ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} F(r,\varphi)=r\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ in Polarkoordinaten. Berechnen sie $\begin{eqnarray*} \Delta F \end{eqnarray*}$ .

oder:
Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} g(r,\varphi)=\frac{1}{r^2} \end{eqnarray*}$ . Bestimmen sie die Ableitungen $\begin{eqnarray*} f_x, f_y \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x=r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi), g(r,\varphi)=f(x,y) \end{eqnarray*}$

oder:

Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+y^2\sin(x)+e^y \end{eqnarray*}$ Berechnen sie die Ableitungen $\begin{eqnarray*} g_r,g_\varphi \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x=r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi), g(r,\varphi)=f(x,y) \end{eqnarray*}$

Hoffe doch, dass dies jemand erklären kann, da die Klausur doch recht bald ist unglücklich

17.03.2005, 18:36

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A und O ist die Darstellung
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\frac{df}{dr}\\[1ex] \frac{df}{d\varphi}\end{pmatrix} = J\cdot\begin{pmatrix}\frac{df}{dx}\\[1ex] \frac{df}{dy}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mit der Jacobi-Matrix
$\begin{eqnarray*} J = \begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial r}\\[1ex] \frac{\partial x}{\partial\varphi}&\frac{\partial y}{\partial\varphi}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi \\[1ex] -r\sin\varphi&r\cos\varphi\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Zum Teil brauchst du natürlich auch die umgekehrte Richtung
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\frac{df}{dx}\\[1ex] \frac{df}{dy}\end{pmatrix} = J^{-1} \cdot \begin{pmatrix}\frac{df}{dr}\\[1ex] \frac{df}{d\varphi}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mit der Inversen
$\begin{eqnarray*} J^{-1} = \frac{1}{r}\begin{pmatrix}r\cos\varphi&-\sin\varphi\\[1ex] r\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Da war was durcheinander geraten - jetzt müsste es stimmen. Augenzwinkern

17.03.2005, 18:56

Protector1982

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Kannst du dass vielleicht am "ausführlichen" Beispiel einer der Fragen erläutern?
Dein Posting bringt mich nämlich leider nicht wirklich weiter.
Bei uns ist in der Vorlesung nie ein Zusammenhang zwischen Jacobi und Polarem Kram gefallen.

Danke trotzdem schon mal für die Mühe, die du dir gemacht hast!

17.03.2005, 19:07

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Nehmen wir doch dein Beispiel $\begin{eqnarray*} g(r,\varphi)=\frac{1}{r^2} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{dg}{dr}=-\frac{2}{r^3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{dg}{d\varphi}=0 \end{eqnarray*}$ . Also ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\frac{dg}{dx}\\[1ex] \frac{dg}{dy}\end{pmatrix} = \frac{1}{r}\begin{pmatrix}r\cos\varphi&-\sin\varphi\\[1ex] r\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-\frac{2}{r^3}\\[1ex] 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{2}{r^3}\cos\varphi\\[1ex] -\frac{2}{r^3}\sin\varphi\end{pmatrix}=-\frac{2}{r^4}\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\[1ex] r\sin\varphi\end{pmatrix} =-\frac{2}{(x^2+y^2)^2}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.03.2005, 19:55

yeti777

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@Arthur: Entschuldige, Arthur. Ich will mich nicht ungebührlich einmischen. Aber vielleicht kann ich deine Ausführungen mit meinem Post ergänzen, sodass er für Protector hilfreich ist.

@Protector: Wenn es um Differenzieren oder Integrieren mit Koordinatentransformationen geht, zeichne ich mir immer ein Mengendiagramm mit den gegebenen Abbildungen (bin halt ein Ingenieur!). Beachte die Skizze im Anhang! Für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} g= f \,\,\,o \,\,\,\vec{phi} \end{eqnarray*}$ (f kringel phi, gibt es eigentlich kein Kringelzeichen???) und für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} g\,\,\,o\,\,\,(\phi)^{-1} \end{eqnarray*}$ . Jetzt kannst du zum Differenzieren ganz normal die Kettenregel einsetzen. Die Ableitung der vektorwertigen Funktion ergibt dann die Funktional- oder JACOBI-Matrix oder die Inverse davon, so wie es Arthur bereits vorgeführt hat.

Dieses Vorgehen ist auch äusserst anschaulich bei Kugel- oder Zylinderkoordinaten.

Gruss Heinz

17.03.2005, 20:05

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Zitat:

Original von yeti777
@Arthur: Entschuldige, Arthur. Ich will mich nicht ungebührlich einmischen.

Also solche "Entschuldigungen" wollen wir hier gar nicht erst einreißen lassen.
Einmischungen zum Thema sind immer willkommen! smile

18.03.2005, 12:14

Protector1982

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Ich danke euch zwei für die ausführlichen Postings!
Werde es nachher mit ein paar anderen Aufgaben probieren und gucken ob ich es jetzt endlich verstanden habe!
Vielen Dank Idee!

18.03.2005, 15:59

quarague

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die ursprüngliche Frage scheint ja fürs erste beantwortet, da kann ich nur noch was zu den Kringeln in tech schreiben.
Standardverfahren für tech-sonderzeichen:
englischen Namen raten
bei Bedarf abkürzen
Backslash davorschreiben
\circ $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$

18.03.2005, 17:37

yeti777

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@ quarage: Vielen Dank für den Tip mit den Kringeln smile

@Protector: Siehst du jetzt durch oder gibt es noch Unklarheiten?

Gruss yeti

18.03.2005, 17:42

Protector1982

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Ja das zweit ausführliche Beispiel von Arthur Dent war sehr genial!
Ich danke allen für die schnelle Hilfe!

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