Zahlentheoretische Aufgabe (2^n+1=m^2)

24.09.2007, 13:48

mylittlehelper

Zahlentheoretische Aufgabe (2^n+1=m^2)

Hallo!

Ich bin eben aus der Prüfung raus und konnte leider eine Aufgabe nicht lösen.

Sie lautete:

Für welche natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 2^n+1 \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl?

Ich komme mit Vergleichen $\begin{eqnarray*} \mod 10 \end{eqnarray*}$ darauf, dass $\begin{eqnarray*} n=3k \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Weiter aber leider nicht.

Hat einer ne Idee?

Edit: Durch Probieren konnte ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=30 \end{eqnarray*}$ Lösungen des Problems sind.

24.09.2007, 14:29

sqrt4

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Wenn mein Rechner nicht ganz spinnt ist n=30 keine Lösung.(allg sind gerade n keine Lösung)

24.09.2007, 15:17

therisen

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$\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ ist die einzige Lösung.

Wegen $\begin{eqnarray*} 2^n+1=m^2\Longleftrightarrow2^n=(m-1)(m+1) \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ungerade sein, d.h. $\begin{eqnarray*} m=2k-1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\geq1 \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} 2^n+1=4k^2-4k+1 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} n\geq2 \end{eqnarray*}$ hat man $\begin{eqnarray*} 2^{n-2}=k(k-1) \end{eqnarray*}$ , was nur für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ möglich ist.

Gruß, therisen

24.09.2007, 15:57

mylittlehelper

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Ok, dann doch Mantissenfehler unglücklich

und ich dachte den hätte ich ausschließen können.

Zitat:

Original von therisen
Für $\begin{eqnarray*} n\geq2 \end{eqnarray*}$ hat man $\begin{eqnarray*} 2^{n-2}=k(k-1) \end{eqnarray*}$ , was nur für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ möglich ist.

Könntest du diesen Schritt ausführen? Weil ich dort auch hängen geblieben bin.

EDIT:

Alles klar. Entweder $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} k-1 \end{eqnarray*}$ ist ungerade und damit kein Teiler von $\begin{eqnarray*} 2^{n-2} \end{eqnarray*}$ . Falls natürlich $\begin{eqnarray*} n>3 \end{eqnarray*}$

Ich bin so ein Depp!! Hammer

Na ja, nach 4h Klausur war mein Hirn dann wohl doch nicht mehr so frisch.

24.09.2007, 15:58

therisen

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Division durch $\begin{eqnarray*} 2^2 \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten.

EDIT: Ok, dir war etwas anderes unklar. Hat sich wohl geklärt.

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