Integritätsbereich

17.03.2005, 23:07

The_Lion

Integritätsbereich

Hi.

Ich habe eine eigentlich nicht si schwere Aufgabe.

Zitat:

Sei R ein Integritätsbereich mit Einselement. Besitzt R nur endlich viele Elemente, so ist (R\{0}, *) eine Gruppe

Es ist nur noch zu zeigen, dass in R\{0} die Inversen liegen.

Sei $\begin{eqnarray*} r \in R \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \exists a,b \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , b > a mit $\begin{eqnarray*} r^b = r^a => r^{b-a} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Da ich noch nicht weiss, ob die Inversen überhaupt in R\{0} existieren, kann ich bei $\begin{eqnarray*} r^b = r^a \end{eqnarray*}$ nicht rechts $\begin{eqnarray*} r^{-a} \end{eqnarray*}$ anknüpfen, um die Gleichung , um dieImplikation
$\begin{eqnarray*} r^b = r^a => r^{b-a} = 1 \end{eqnarray*}$ zu beweisen.
Wie kommt man also darauf ?

Wie muss ich bei der Aufgabe weiter vorgehen ? Vielleicht n kleiner Tipp ?
Das Inverse zu r^b ist ja in dem Falle r^-a

Ist die Voraussetzung " R besitzt nur endlich viele Elemente" daüfr wichtig, dass man r^b = r^a setzen kann ? Ginge der Beweise sonst nicht ?

Danke.

18.03.2005, 06:53

Leopold

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Sei $\begin{eqnarray*} 0 \neq r \in R \end{eqnarray*}$ fest gewählt. Betrachte dann die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \varphi_r: \ \ s \mapsto r \cdot s \end{eqnarray*}$

Wegen der Nullteilerfreiheit bildet sie $\begin{eqnarray*} R^{*} = R \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} R^{*} \end{eqnarray*}$ ab.
Man kann nun leicht zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \varphi_r \end{eqnarray*}$ injektiv ist (zeige, daß aus $\begin{eqnarray*} \varphi_r(s_1) = \varphi_r(s_2) \end{eqnarray*}$ die Gleichheit $\begin{eqnarray*} s_1 = s_2 \end{eqnarray*}$ folgt, wozu du wieder die Nullteilerfreiheit brauchst).
Eine injektive (surjektive) Abbildung einer endlichen (!) Menge in sich ist aber von selbst schon surjektiv (injektiv), oder anders gesagt: injektiv und surjektiv bedeuten hier dasselbe.
Und der Rest sollte klar sein.

Letztlich zeigt man mit dieser Aufgabe den Satz:
Jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper.

Die Voraussetzung der Endlichkeit ist hier in der Tat zentral. Betrachte dazu den Integritätsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Natürlich ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^{*} = \mathbb{Z} \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ unter der gewöhnlichen Multiplikation keine Gruppe.

18.03.2005, 20:06

The_Lion

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Ich hätte dann noch eine Aufgabe:

Zitat:

Bestimmen Sie alle Integr.bereiche mit p ELementen, p Primzahl. Zeigen Sie zunächst (mit dem Satz von Lagrange):
Es gibt bis auf Isomorphie genau eine Gruppe der Ordnung p, p Primzahl.

- Isomorphie ist ja ein bijektiver Homomorph. , aber das wird auch für das Wort "äquivalent", also "gleich", "entsprechend" benutzt oder ?

Ich wollte den Schritt (Hinweis) so zeigen:

Satz v. Lagrange: |G| = |U| [G:U]
<=> $\begin{eqnarray*} \frac{|G|}{|U|} = [G:U] \end{eqnarray*}$
=> |U| = 1 oder |U| = |G| = p , denn p prim.

Das würde für den Hinweis nicht reichen?

Aber man soll die Isomorphie noch zeigen. (Dabei bin ich gerade). Ist das zwingen notwendig ? Ich habe ja eigentlich gezeigt, dass dann die Gruppen gleich sind, oder dass die andere Gruppe, also U die triviale Gruppe wäre. Somit gibt es ja dann nur eine Gruppe mit Ordnung p, p prim.

Danke.

18.03.2005, 20:52

JochenX

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schau mal da...
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch...onlagrange.html
vielleicht hilft dir ja das noch weiter (zyklisch...)

"gleich" sagt (und schreibt) man öfters bei gruppen, meint damit aber sogut wie immer isomorph.
der unterschied sind die namen der elemente....

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