Globale Extrema für Fkt. von mehreren Veränderlichen...

18.03.2005, 13:29

RedFlash

Globale Extrema für Fkt. von mehreren Veränderlichen...

Hi Leute, ich hab ein globales Verständnisproblem Augenzwinkern

z.B bei folgender Funktion:

f(x,y) = x^2+y^2-xy-2y+x

die lokalen Extrema aus den stationären Punkten hab ich schon:
MIN in P(0|1)

und jetzt soll man die globalen Extrema ermitteln mit M={(x,y) und 0<=x<=2, 0<=y<=2)}

der Extremwertbereich ist daher ein Quadrat und P(0|1) liegt drin mit x=0 und y=1

jetzt meine Fragen:
a) ist P(0|1) damit auch ein globales Minimum?
b) muss ich immer auch noch die Ränder absuchen, mit z.B. y=0 und 0<=x<=2 oder nur wenn sich innerhalb des Bereichs keine lokal. Extrema befinden?
c) muss ich immer auch die Ecken absuchen mit (0|0), (2|0), (2|2), (0|2) ?
d) sind dann die kleinsten bzw. die größten lokalen Extrema, dann meine kleinsten bzw. die größten globalen Extrema?

danke schon mal für eure hilfe

EDIT: ich hab mir mal den Rand angeguckt mit y=0 und 0<=x<=2
das zeigt mir, dass bei P(0|0) der der kleinste Wert liegt und bei
P(0|2) der größte...

Die gloabel Extrema müssten dann bei MIN(0|1) und MAX(2|0) liegen ...

18.03.2005, 14:21

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RE: Globale Extrema für Fkt. von mehreren Veränderlichen...

Zitat:

Original von RedFlash
ich hab mir mal den Rand angeguckt mit y=0 und 0<=x<=2
das zeigt mir, dass bei P(0|0) der der kleinste Wert liegt und bei
P(0|2) der größte...

Ich hab jetzt nicht nachgerechnet, aber: Der Rand des Quadrates "0<=x<=2, 0<=y<=2" besteht aus vier Seiten, von denen du anscheinend nur eine untersucht hast. Es fehlen noch:
2) y=2, 0<=x<=2
3) x=0, 0<=y<=2
4) x=2, 0<=x<=2

18.03.2005, 14:43

RedFlash

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ja ist richtig, ich muss also immer systematisch alle Ränder absuchen...

hab ich gemacht und die Funktionswert für den Rand2,Rand3 ermittelt und es gibt keine kleineren bzw. größeren Funktionswerte als bei Rand1 und dem lokalen MIN(0|1).
Bei Rand4 bekomm ich nur eine komplexe Lösung raus, die aber dann nicht Lösung der Funktion sein kann wegen f(x,y) aus R ...

Daher würd ich sagen:
Die gloabel Extrema müssten dann bei MIN(0|1) und am Rand1 MAX(2|0) liegen

18.03.2005, 17:53

Protector1982

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Da ich selber gerade das Thema nachgearbeitet habe und mir hier so gut geholfen wird, poste ich doch mal meine 3 Cent zu der Sache:
Genereles Verfahren:

Hesse Matrix berechnen.
gradient f =0 berechnen

Sei $\begin{eqnarray*} a=(a_1,a_2) \end{eqnarray*}$ ein stationärer Punkt, also $\begin{eqnarray*} f_x(a)=f_y(a)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det H_f(a)>0 \quad f_{xx}(a)>0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ a lokale Minimalstelle.
$\begin{eqnarray*} det H_f(a)>0 \quad f_{xx}(a)<0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ a lokale Maximalstelle.
$\begin{eqnarray*} det H_f(a)<0 \Rightarrow a \end{eqnarray*}$ ist ein Sattelpunkt.

19.03.2005, 01:19

iammrvip

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Zitat:

Original von Protector1982

Hesse Matrix berechnen.
gradient f =0 berechnen

Andersrum ist eher sinnvoll, dass man erstmal die möglichen Extremstellen kennt Augenzwinkern

.

Also

$\begin{eqnarray*} \nabla f = {\rm grad}~f &= 0 \\ H_f &= \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

/edit:

Zitat:

Original von RedFlash
jetzt meine Fragen:
a) ist P(0|1) damit auch ein globales Minimum?

Ich denke, das bezieht sich jetzt auf den ganzen Definitionsbereich.

Überprüfe dazu

$\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to \infty \end{eqnarray*}$ für festes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y\to \infty \end{eqnarray*}$ für festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to -\infty \end{eqnarray*}$ für festes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y\to -\infty \end{eqnarray*}$ für festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

Dann komm etwas Interessantes raus Augenzwinkern

19.03.2005, 10:40

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@iammrvip

Vielleicht war redflash oben nicht deutlich genug, aber der Definitionsbereich seiner Funktion ist
M={(x,y) und 0<=x<=2, 0<=y<=2)} . Augenzwinkern

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