Euler Charakteristik in 2D

18.03.2005, 16:50

chip

Euler Charakteristik in 2D

Ich würde gerne die Euler Charakteristik einer Fläche berechnen:

http://www.cineca.it/manuali/Performer/ProgGuide24/html/images/triangle.mesh.gif

Ich weiß, dass die Euler-Charakteristik einer geschlossenen orientierbaren.....2-Manigfaltigkeit durch die Euler-Poincare Gleichung

$\begin{eqnarray*} \chi(S) = \|V\| - \|E\| + \|F\| \end{eqnarray*}$

gegeben ist.
Für eine 2-Späre ist $\begin{eqnarray*} \chi(S) \end{eqnarray*}$ somit 2.

Ich suche jetzt schon ne ganze Weile nach nem Beweis, dass für eine ebene Fläche (z.B. 2 Dreiecke nebeneinander) $\begin{eqnarray*} \chi(S) = 1 \end{eqnarray*}$ wird.

Ich habe auch schon gelesen, dass man anscheinend bei einer ebenen Fläche die umschließende Fläche auch noch mitzählen muss, da die umschließende Fläche in der Ebene sich im Unendlichen wieder schneidet (somit wäre $\begin{eqnarray*} \chi(S) \end{eqnarray*}$ wieder gleich 2)

hat irgend jemand n pdf oder nen Link in dem der Beweis erbracht wird bzw. ist eine "Projective Plain" äquivalent zu einer simplen triangulierten Fläche in 2D?

gruß

18.03.2005, 17:09

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich kenne die Euler-Poincare-Charakteristik als Funktion auf dem Konvexring (= alle Teilmengen des IR^n, die als endliche Vereinigung konvexer kompakter Mengen darstellbar sind). Und sie hat folgende Eigenschaften:

1) $\begin{eqnarray*} \chi(\emptyset)=0 \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \chi(K)=1 \end{eqnarray*}$ für konvexe kompakte nichtleere Mengen $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \chi(A\cup B)=\chi(A)+\chi(B)-\chi(A\cap B) \end{eqnarray*}$ für alle Mengen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ des Konvexringes.

Mit diesen drei Eigenschaften kann man dann leicht die Euler-Charakteristik einer beliebigen Menge des Konvexringes bestimmen, z.B. auch die zweier an einer Kante verbundener Dreiecke.

EDIT: Ich hab mal vorsichtshalber kompakt eingefügt - kann sein, dass ich da übervorsichtig bin. So stimmt's aber auf jeden Fall.

18.03.2005, 17:24

chip

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.
Jetzt weiß ich, dass ich mit meiner Vermutung nicht falsch lag. Ich hab ähnliche Beschreibungen auf der Basis von Simplices gefunden. Leider haben die immer nur eine 2-Sphären etc. als Beispiel angegeben. War mir deshalb nicht ganz sicher, ob die Euler-Charakteristik auch für nicht geschlossene Körper gilt.
Muss nur noch ne passende Referenz finden, die ich angeben kann.
Vielen Dank und Gruß

19.03.2005, 15:55

quarague

Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube man kann auf die Eulercharakterstik nahezu beliebig viel Theorie ansetzen. Ich kenne die Eulercharakteristik einer Mannigfaltigkeit als Schnittzahl der Diagonale mit sich selbst. Ausserdem hat sie dann die wesentliche Eigenschaft eine Homotopie-Invariante zu sein. Das heisst, das beliebige stetige Verformungen nichts an der Eulercharakterstik ändern. Damit ist sie schon mal für alle Flächen ohne Löcher gleich, egal wieviele Dreiecke du da aneinanderhängst.
Konkret ausrechnen würde ich sie zB via:
deine Dreiecke sind homotop zur Einheitskreisscheibe
jede stetige Abbildung der Einheitskreisscheibe hat mindestens einen Fixpunkt (Satz von Brouwer)
=> Eulercharakteristik = 1
wie gesagt beliebig viel Theorie ;-)
zu Arthur's Ansatz habe ich noch die Frage: gehört die Sphäre überhaupt zum Konvexring? Wenn ja wie?

19.03.2005, 16:55

chip

Auf diesen Beitrag antworten »

leider hab ich noch keine vorlesung zur differential geometrie gehört. versuche mir das gerade selbst anzueignen.
habt ihr / hat jemand da vielleicht n gutes skript, dass das einigermaßen gut rüber bringt.
mein problem ist, dass ich eindeutig weiß, welche euler-charakteristik ein torus und welche eine sphäre hat.
meine frage ist also eher dahin gerichtet ob es im zweidimensionalen fall zwingend so ist, dass ein loch/handle (henkel) die euler-charakteristik erniedrigt / den genus erhöht?
der genus/das geschlecht ist ja definiert als anzahl aller schnittkurven, die den körper noch nicht in zwei teile teilen (einfach ausgedrückt <=> für torus 1 für sphäre 0). die frage meiner seite, die ich mir immer noch nicht beantworten kann ist, ob das auch zwingend bei einer fläche so ist (fläche mit ein oder zwei "löchern").

EDIT: oder sollte ich durch "geschicktes verkleben" aus der fläche einfach nen geschlossenen körper machen. laut meinen berechnungen erhöht das die euler zahl genau um den faktor 2.

20.03.2005, 10:34

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von quarague
zu Arthur's Ansatz habe ich noch die Frage: gehört die Sphäre überhaupt zum Konvexring? Wenn ja wie?

Nein, sie gehört nicht dazu. Wenn man für solche Mengen auch die Euler-Charakteristik braucht, ist der Konvexring nicht ausreichend und man muss ein wenig mehr Topologie (wie du es angedeutet hast) betreiben.

20.03.2005, 12:23

quarague

Auf diesen Beitrag antworten »

zu dem Themenkomplex Eulercharakteristik - Topologie - Differentialgeometrie würde ich zB Jackson 'Differential Topology' empfehlen. Der macht eine Menge zu Schnitttheorie, Klassifikation von 2-Mannigfaltigkeiten und dann eben auch Eulercharakteristik.
Für eine allgemeine Einführung in Diff'geo, also Mannigfaltigkeiten, Tangentialräume, Zusammenhänge, Krümmung usw müsste fast jede Uni eine Vorlesung und eventuell ein Skript dazu anbieten.

Neue Frage »

Antworten »

Euler Charakteristik in 2D

Verwandte Themen