Der Vektorraum magischer Quadrate |
| 18.03.2005, 18:40 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Der Vektorraum magischer Quadrate Mein Facharbeitsthema ist "der Vektorraum der magischen Quadrate". Ich habe noch vier Wochen, also ist noch genug Zeit. Aber mir fehlt noch die Struktur, ich weiss nicht wie ich an die Sache rangehen soll. Als erstes Begriffserklärungen, Vektorraum-Definitionen sind immer sehr schwer verständlich, vllt kann mir jemand helfen. Vllt kann mir ja jemand auch eine grobe Grobplanung geben, der sich schon mal in das thema eingearbeitet hat. Wäre sehr nett, denn ich kriege da keine Struktur rein 
Gruss Lenny |
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| 18.03.2005, 21:04 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm haperts bei dir nun eher an den magischen quadraten oder bei den vektorräumen? zunächst solltest du dir mal überlegen, welche einträge überhaupt in deine quadrate dürfen. wenn da nur natürliche zahlen rein dürfen siehts dürftig mit vektorräumen aus. also vermute ich reelle mag. quadrate, die dann wiederum einen IR-Vektorraum bilden? |
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| 19.03.2005, 10:04 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sollst du beliebige n×n-Quadrate oder nur 3×3-Quadrate betrachten? |
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| 19.03.2005, 16:57 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Magische Quadrate, welcher Ordnung wird nicht gefragt... Es hapert eher bei den Vektorräumen. Magische Quadrate zu bilden ist nicht schwer. Mir fehlt halt ein KOnzept. Ich weiss nicht was ich beweisen, rechnen, zeigen usw. soll. Einführung begriffserklärungen Zusammenhang zum Untericht Themaeingrrenzung (wie?) Ausführung ?????????? Schluss ??????? Danke, gruss Felix |
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| 19.03.2005, 17:54 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
was diesen magischen quadraten allen gemein sein muss: sie müssen alle dieselbe höhe und breite haben, denn du wirst probleme haben ein 5x5-quadrat auf ein 3x3-quadrat zu addieren.
hattet ihr schon vektorräume und deren axiome? wenn nein führ sie ein. wenn ja, wiederhol sie kurz. danach beweise einzeln, dass diese gelten. mfg jochen |
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| 19.03.2005, 18:36 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
HAtten wir noch nicht. Aber wann soll ich beweisen,d ass sie gelten? Bei Addition von mag. Quadraten? Die drei Komponenten a1, a2 & a3 der Vektoren bilden jeweils ein mag. Quadrat der Ordnung 3 mit So aber was soll ich nun beweisen und wnann sollen die Vektorraumaxiome gelten? |
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| 19.03.2005, 18:42 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich weiß nicht, was diese matrix aus magischen quadraten unten soll!?
okay vereinfachen wir das auf ordnung 3 (geht auch mit anderen ordnungen, aber die ordnung muss fest sein!) du musst alle vektorraumaxiome prüfen! z.b. abgerschlossenheit bzgl der vektoraddition: zunächst solltest du diese addition zwischen deinen vektoren (die quadrate!9 defineiren: dafür kannst (und wird normal auch so gemacht) du die "vektoraddition" (denn in vektorräumen herrscht eine gruppenverknüpfung zwischen den vektoren) komponentenweise definieren. z.z. wäre hier z.b. das das ergebnis wieder ein magisches quadrat ist. seien A, B magische quadrate (der ordnung 3), dann ist A+B auch wieder ein magisches quadrat. weitere axiome zu zeigen wären z.b. neutralelement, inverser vektor.... ganz wichtig die reihenfolge: 1) erklären, was einen vektorraum ausmacht 2) deinen vektorraum mit den mag. quadr. kurz vorstellen 3) die verknüpfungen (addition, skalare multiplikation) als komponentenweise vorstellen 4) oben erklärte axiome ALLE nachweisen |
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| 20.03.2005, 11:57 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das heißt ich soll "einfach nur" prüfen, ob die Vektorraumaxiome auch bei magischen Quadraten gelten? Aber wie kann ich das auf bis zu 15 Seiten ausweiten? |
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| 20.03.2005, 12:46 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du könntest dir Gedanken dazu machen, wieviel Dimensionen der Vektorraum der magischen Quadrate hat man könnte auf dem Vektorraum eine Norm einführen ich glaube, die Summe aller Einträge eine Seite ist ein guter Kandidat (Axiome für eine Norm prüfen) mit der Norm durch Polarisation ein Skalarprodukt einführen: |x+y|=<x+y,x+y> = <x,x> + <y,y> + 2<x,y> = |x| + |y| + 2<x,y> und dann eine orthogonale Basis bestimmen ich habe jetzt keine genaue Lösung für diese Probleme im Kopf aber man kann da ohne weiteres 15 Seiten zu produzieren 
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| 20.03.2005, 13:02 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vor allem kann man aber auch zeigen, dass der Raum aller magischen nxn-Quadrate ein Unterraum des Vektorraums aller nxn-Matrizen ist. Somit kann man von dort übliche Normen oder Skalarprodukte und deren Eigenschaften übernehmen. |
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| 20.03.2005, 14:26 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@quarague: Meines Wissens gehen die Dimensionen gegen unendlich. Den Vektorraum der mag. quadrate Ordnung 3 könnte man noch graphisch darstellen, da man um ein mag. Quadrat zu bilden drei Komponenten braucht, die gleichzeitig einen Vektor darstellen. Ein mag. Quadrat Ordnung 4 bildet einen Vektorraum Dimension 8, da acht Komponenten gebraucht werden um ein mag. Quadrat Ordnung 4 zu bilden.
Das musst du mir nochmal erklären. @Arthur Dent: Mir fehlt der Zusammenhang zwischen Matrizen und Quadraten.
Was ist mit dem Körper K gemeint? K=mag. Quadrat? |
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| 20.03.2005, 14:33 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm, über die dimensionen will ich mal lieber nicht spekulieren... zu deiner körperfrage: weißt du überhaupt, was ein körper ist? ansonsten frage wikipedia erst mal dazu.... |
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| 20.03.2005, 14:45 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zunächst mal haben wir hier noch gar nicht erfahren, was lenny1986 für Bedingungen an ein magisches Quadrat stellt: Zeilen- und Spaltensummen alle gleich (mit Wert S) ist klar, aber dann fordern manche (und manche eben nicht) noch die Hauptdiagonalensummen mit demselben Wert S. lenny1986 ist offenbar der Ansicht, dass diese Bedingungen dazugenommen werden - dann ist für n>2 die Dimension dieses Vektorraums in der Tat (n-1)²-1, also 3 für n=3, 8 für n=4 usw. Aber offenbar gibt es hier noch ein paar grundsätzliche Fragen in punkto Vektorraum-Verständnis zu klären... |
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| 20.03.2005, 14:53 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist es ja. Ich habe da Probleme das überhaupt zu verstehen. "Ein Vektorraum über dem Körper K" ???
Die Definition zum Vektorraum verstehe ich auch nicht. Was ist mit dem Tripel (V,+,*) gemeint? (Ich würde sagen V=V, += V + X, *= V * Skalar.) Außerdem sind mir viele Symbole neu und ich weiss deren Bedeutung nicht. Um jetzt nochmal meine Gliederung anzusprechen: ___________ Einführung: Begriffserklärungen: Vektorraum-(Axiome) ( Basis, Dimension, Erzeugenendesystem, welche Begriffe gehören da noch zu?), magisches Quadrat Ausführung: Ermittlung von mag. Quadraten (welcher Ordnung? wieviele?) Beweis der Vektorraumaxiome an dem Beispiel __________ Ergänzungen, Verbesserungen, Weiterführung? Ddanke, gruss Felix edit: Hauptdiagonalensumme muss auch S sein. Ich habe auch noch ein paar Verständnisschwieirgkeiten bezüglich des "formalen" Vektorraums. Aber riesendankeschön an euch, ihr habt mir jetzt schon weitergeholfen... |
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| 20.03.2005, 15:07 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
V ist eine menge von elementen, das ist dein "eigentlicher" vektorraum; + und * sind dann verknüpfungen, die auf dem vektorraum (mit einem grundkörper K) definiert sind. + ist eine verknüpfung zwischen 2 vektoren, also eine abbildung von 2 vektoren auf einen anderen... +: VxV -> V (das soll V kreuz V sein) * ist eine abbildung zwischen dem grundkörper (wikipedia fragen, was ein körper ist) und einem vektor: *: KxV -> V soweit klar? das wirsd schwer, dir das ganze darzulegen, wenn du nicht mal die grundbegriffe weißt... also mit was kannst du was anfangen: axiom? gruppe? abbildung von VxV nach V |
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| 20.03.2005, 15:30 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Axiom: Grundsatz, These, die grundlegend festgelegt ist. Gruppe: Wissenslücke abbildung von VxV nach V: keine Ahnung was bedeuten denn + und *? +: Addition zweier Vektoren? *: Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar? Wo muss ich hier noch was ergänzen? ___________ Einführung: Begriffserklärungen: Vektorraum-(Axiome) ( Basis, Dimension, Erzeugenendesystem, welche Begriffe gehören da noch zu?), magisches Quadrat Ausführung: Ermittlung von mag. Quadraten (welcher Ordnung? wieviele?) Beweis der Vektorraumaxiome an dem Beispiel __________ lg Fleix |
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| 20.03.2005, 15:40 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm, dann fangen wir mal klein an. ich möchte nicht die komplette grundlegende gruppentheorie hier erläutern.... also für einen vektorraum mit grundkörper K gelten immer ein paar axiome. <-- edit: sonst, wenn mindstens eines nicht gilt, issses kein vektorraum K ist in deinem Fall wohl Q oder IR, die elemente, die du auch in dein quadrat füllen darfst. welche der axiome verstehst du denn? welche nicht? VxV->V, bedeutet einfach: (x,y)->z, ein paar vektoren wird auf einen anderen abgebildet, x,y,z sind vektoren KxV->V dann wiedrum: (a,x)->y, ein skalar (aus K) und ein vektor, werden auf einen vektor abgebildet, x,y vektoren, a skalar aus K |
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| 20.03.2005, 17:58 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1.(V,+) ist eine Abelsche Gruppe, das heißt, v + w ist wieder ein Vektor aus V (Abgeschlossenheit); 2.u + (v + w) = (u + v) + w (Assoziativität); 3.Es gibt einen Nullvektor 0 aus V, so dass 0 + v = v = v + 0; 4.Es gibt zu jedem Vektor v einen inversen Vektor -v, so dass v + (-v) = 0; 5.v + w = w + v (Kommutativität); für die Skalarmultiplikation gilt: 6.a * v liegt wieder in V (Abgeschlossenheit: V trägt Operation von K); 7.a * (b * v) = (a * b) * v (Assoziativität); 8.1 * v = v (das neutrale Element von K wirkt auch auf V neutral); und die folgenden Distributivgesetze garantieren die Verträglichkeit von Vektoraddition und Skalarmultiplikation: 9.a * (v + w) = a * v + a * w; 10.(a + b) * v = a * v + b * v (links vom Gleichheitszeichen bezeichnet "+" die Addition in K, nicht die Vektoraddition). 1. v+w=u, die drei vektoren wären dann untereinander linearabhängig 2. sehe ich kein verständnisproblem 3. " " " " " 4. Vektor * -1 5. Wo soll denn da das Problem sein? 6. v wurde einfach um das a-fache "verlängert" 7. Sehe ich kein problem 8. Defintion von K fehlt mir, ich verstehe das nicht was bei Wikipedia steht 9. verstanden 10. Rechnung verstanden, aber rest nicht Ich verzweifele langsam, weil mir das mit dem K nicht klar wird. + und * habe ich verstanden, aber nicht "a skalar aus K" 
DANke... |
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| 20.03.2005, 19:28 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm, hauptproblem scheint der körper zu sein. ein körper ist zunächst einmal einfach eine menge von objekten mit 2 verknüpfungen. meist auch "+" und "*" genannt. für diese gelten wiederum einige regeln..... (wie beim vektorraum) poste am besten mal den wiki-link, den du nicht verstehst und sage genau, was daran nicht verständlich ist.... |
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| 20.03.2005, 19:48 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
[url]http://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_%28Mathematik%29[/url Was ist denn mit Menge von Objekten mit zwei Verknüpfungen gemeint? Das man aus den zwei Verknüpfungen aus die anderen Objekte schließen kann? Ich werde morgen mit der Einführung anfangen. Die Definition eines Vektorraumes ist (für mich) schwer in eigene Worte zu fassen. Aber werd' das schon hinkriegen, mit eurer Hilfe auf jeden fall. Sieht es als Herausforderung... |
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| 20.03.2005, 19:56 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
http://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_%28Mathematik%29 url statt html die reellen zahlen mit den verknüpfungen * und + wie wir sie kennen sind zum beispiel ein körper, denn sie erfüllen alle körperaxiome..... |
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| 20.03.2005, 20:18 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, also in meinem Fall heißt dann "Vektorraum über K", dass die Komponenten der Vektoren aus reelen Zahlen bestehen? Nochmal zu meiner Gliederung, weil darauf bsiher nicht geantwortet wurde.
Ergänzungen, Verbesserungen etc.? Ich wollte meine Facharbeit eigentlich in Erdkunde schreiben, aber ich gehörte zu den 1/5, deren Wunschwahl nicht erfüllt wurde. Gruss, Felix |
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| 20.03.2005, 20:25 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
naja, insbesondere heißt das, das deine skalare eben aus IR sein können.... aber denk mal, du hättest nur einträge aus Q und dann den vektorraum über IR. dann multipliziere mal ein rationales magisches quadrat mit pi komponentenweise. wäer das dann noch rational!? du kannst als grundkörper auch Q nehmen, dann für deine einträge und für die skalare multiplikation. zur gliederung werde ich nix sagen, solange der mathematische teil noch so dunkel ist..... |
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| 20.03.2005, 20:47 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ahh, das Puzzle ist bald "fertig" 
Nein, wäre nicht mehr rational, da Vielfache von pi nicht mit zwei ganzen Zahlen als Bruch dargestellt werden kann. Ich werde mich dann morgen vormittag´an die ganzen Definitionen ranmachen und euch bzw. dich im Laufe des Nachmittags nochmal anfragen. DAnke, Felix |
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| 06.04.2005, 17:37 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi! Ich bin jetzt auf Seite 10 meiner Facharbeit und ebsfasse mich mit den Untervektorräumen. Nur verstehe ich die Definition z.B. auf wikipedia nicht. Ich habe mir darunter vorgesttelt, dass magische Quadrate der Ordnung 3 einen Untervektorraum des R^9 darstellen( jedes Element des Quadrates ist eine Koordinate), da man durch sie nicht alle Vektoren des R^9 darstellen kann. Aber ich bin durch die Definition verunsichert und kann mir sonst nichts drunter vorstellen.
Danke, Felix |
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| 06.04.2005, 17:51 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Menge aller Zauberquadrate der Ordnung 3 ist mit Sicherheit eine Teilmenge eines 9-dimensionalen Vektorraums. Ob er allerdings ein Unterraum ist, hängt von den Bedingungen der Definition ab. Jeder Unterraum ist eine Teilmenge aber nicht jede Teilmenge ein Unterraum eines Vektorraums. Für den Unterraum musst du zeigen: 1.) Das Quadrat nur aus Nullen ist ein Zauberquadrat 2.) Wenn du zwei beliebige Zauberquadrate addierst, dann erhälst du wieder ein Zauberquadrat 3.) Wenn du jede Komponente des Quadrates mit einem beliebigen Skalar multiplizierst erhälst du wieder ein Zauberquadrat. |
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| 06.04.2005, 19:57 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, aber das habe ich doch schon mit der Überprüfung der Vektorraumaxiome an den magischen Quadraten bewiesen. Dann wäre es ja eine Wiederholung
So, habe ich es jetzt gehandhabt: 1. Einführung 1.1 Themenbeschreibung 1.1.1 Zusammenhang zum Unterricht 1.2 Begriffserklärungen 1.2.1 magisches Quadrat 1.2.2 Vektorraum 1.3 Eingrenzung des Themas 1.3.1 ??? 2. Ausführung 2.1 Ermittlung von magischen Quadraten 2.2 Bestimmung der Lösungsmenge 2.3 Beweis der Vektorraumaxiome an meinem Beispiel Es sind schon viele Bearbeitungen im internet zu diesem thema, habe ziemlich viele Ansätze von anderen benutzt usw.! Eigene Leistung ist zwar da, aber konnte sie irgendwie nicht richtig zeigen, da alles was in meiner Facharbeit steht, schon irgendwo anders erarbeitet wurde. Habt ihr noch n Vorschlag was ich noch einfügen und anfügen könnte? Danke, Felx |
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| 06.04.2005, 20:05 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na wenn die magischen Quadrate ein Vektorraum sind, dann auch ein Unterraum von . Wir haben als die Menge aller Vektoren der Form eingeführt. Demnach sind magische Quadrate keine Elemente des Vektorraums R^9. Allerdings ist R^9 isomorph zu R^(3x3) |
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| 10.04.2005, 17:21 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, habe ich... Jetzt fehlen mir noch gut 3 Seiten. Könnt ihr mir noch was sagen, was ich bearbeiten könnte? |
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| 13.04.2005, 20:50 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe nochmal eine spezifische Frage: Magische Quadrate der Ordnung 3 als Lösungen eines Gleichungssystemes c:Q(3,c) C(Untermenge von) Q(3) (was heißt das?)läßt sich schreiben als Koeffizientendarstellung Ax=c Rang der Matrix A = 7 8wie rechnet man das nach?) Dimension des Lösungsraumes dimQ(3,0)=dim R(9) - rg A= 9-7=2 Basis dieses Lösungsraumes beispielsweise y1=(-1,1,0,1,0,-1,0,-1,1)^T (transponiert, was heißt das?) y2=(0,1,-1,-1,0,1,1,-1,0)^T Q(3,0)={x(element aus)R(9)|x=ay1+by2;a,b(element aus) reele zahlen} Mit der fettunterlegten Formel lassen sich magische Quadrate konsturieren, habe ich selber überprüft. Aber ich, und auch ein Freund, sind nicht durch diese Matrix durchgestiegen
Vllt kann mir einer von euch helfen, vielen lieben dank, lg Felix |
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| 13.04.2005, 21:16 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
bedenke, das deine x1-x9 die einträge deines quadrates sind.... (hier eben untereinander geschrieben) also besagt die erste kompoente des lösungsvektors (=c), dass die summe der oberen 3 einträge (x1+x2+x3) c ist, die zweite komponente besagt, das die summe von x4-x6 (also die zweite zeile) =c ist usf. das 7. c besagt dass x3+x5+x7=c ist und das ist z.b. die erste nebendiagonale. beantwortet das schon mal deine frage aus der mail, wie diese matrix zustanden kommt? edit: du kannst keine pns bekommen, das kannst du einstellen das wollte ich dir schicken: "schon getan, auf deine email antworte ich dann mal nicht mehr. hab mal die matrix erklärt, hoffe, du verstehst was ich meine" |
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| 13.04.2005, 21:20 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Konstruktion der Matrix ist hoffentlich klar - du wirst sie ja nicht irgendwo ungesehen abgeschrieben haben, oder?
1.+2.+3. Zeile ergibt . Dieselbe Gleichung ergibt sich als Summe 4.+5.+6.Zeile, also sind 1.-6.Zeile linear abhängig, eine davon kann weggelassen werden. Für den "Rest" kann man mittels Gaußschen Algorithmus die Unabhängigkeit derr nunmehr 7 Zeilen nachweisen. EDIT: 
LOED war schneller, aber so ganz umsonst war meine Antwort vielleicht doch nicht. |
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| 13.04.2005, 21:42 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Klick!!! Danke euch beiden. was heißt diese ^T?transponieren? Gilt diese Matrix bei allen magischen Quadraten oder nur bei den Q(3,0)? Warum kommt man auf die Dimesnion des Lösungsraumes,w enn man von dimR(9) den Rang von A subtrahiert? vielen dank, lg felix |
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| 13.04.2005, 21:57 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nur Q(3,0), das sollte doch von der Dimension her schon klar sein!!! 
Wieviel weißt du denn überhaupt von linearer Algebra? Wir können hier schließlich nicht eine gesamte Vorlesung wiederholen. 
Ist nicht bös gemeint, aber manche deiner Fragen schockieren mich wirklich. |
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| 13.04.2005, 22:04 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vorlesungen? Ich bin Mathe-Lk und transponieren hatten wir nicht, tut mir leid... Die Matrix gilt bei allen Q(3,c) habe ich gerade festgestellt. |
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| 13.04.2005, 23:00 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
transponieren bedeutet einfach spiegeln an der hauptdiagonalen. also z.b. der eintrag in der 1. spalte 3. zeile wird mit demjenigen der 3. spalte 1. zeile vertauscht usf. diagonale bleibt erhalten. klar? |
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| 13.04.2005, 23:17 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na dann entschuldige - hätte wohl doch den Thread lesen sollen. Ist schon 
wenn man dann alles mit dem Urschleim begründen muss - mein Beileid. Aber mit LOED hast du hier einen kompetenten (das bin ich auch) aber vor allem auch geduldigen Helfer (das bin ich wohl nicht) zur Seite. 
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| 14.04.2005, 16:40 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie kommt man in dem Fall auf die Dimension des Lösungsraumes? Dass magische Quadrate mit der zeilen, Spalten und diagonalensumme 0 die dimension 2 haben, das weiß ich, da man nur zwei Komponenten vorgeben muss. Wenn ich mit der Matrix die Komponenten eines magischen Quadrates mit c=15 ausrechnen möchte, dann bekomme ich nur ein magisches Quadrat raus, aber es müssten doch eigentlich unendliche viele sein oder? Wie kann ich das beweisen? |
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| 14.04.2005, 18:09 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich weiß grad nicht, worauf du hinauswillst. wenn du die reellen 3x3-mag-quadrate betrachtest, darfst du keine zeilen-/spaltensumme fest vorgeben, sonst hast du keinen vektorraum mehr. wie sieht denn dein nullvektor mit zeilensumme c=15 aus? oder verstehe ich dich falsch? mfg jochen |
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| 14.04.2005, 20:21 | lenny1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Quadrate mit Zeilen -usw. Summe c bilden doch einen Untervektorraum vom R^9, oder muss auch das magische Quadrat das nur aus Nullen besteht unter diesen magischen Quadraten sein, damit es ein untervektorraum ist? Shit, stimmt, ich habe gedacht, dass alle magischen Quadrate mit der Zeilensumme c einen Untervektorraum von dem R^9 bilden... Aber diese Quadrate sind doch eine Teilmenge von R^9, oder nicht? Es gibt nämlich unendlich viele. Aber ich kann keines mit nem Skalar multipliezieren, da sich sonst c ändert... Aber ich glaube, meine Vermutung gilt nur bei c=0, da man diese magischen Quadrate auch mit nem Skalar multiplizieren darf und sich nichts ändert... |
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