Argumente von Nullstellen?

19.03.2005, 14:55	Maegashira	Auf diesen Beitrag antworten »
Argumente von Nullstellen? Hi! Ich habe hier folgende Aufgabe: Das Polynom mit den reellen Koeffizienten $\begin{eqnarray} p(z)=z^4-2z^3+3z^2+4z+24 \end{eqnarray}$ hat die Nullstelle $\begin{eqnarray} z=2+2i \in C \end{eqnarray}$ Man bestimme die übrigen 3 Nullstellen $\begin{eqnarray} zk \in C \end{eqnarray}$ (k = 1,2,3) Welche Nullstelle zk von P hat ein Argument im Intervall [170°, 250°] (180° = \pi )? Ich verstehe die Aufgabe schon nicht? Was muss ich hier überhaupt machen? Was ist ein Argument einer Nullstelle? Was für ein Zahlenraum ist C? Ich hoffe hier kann mir jemand helfen....
19.03.2005, 15:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat das Polynom wie hier nur reelle Koeffizienten, so ist mit jeder Nullstelle $\begin{eqnarray} a + \operatorname{i} b \end{eqnarray}$ auch die dazu konjugiert komplexe Zahl $\begin{eqnarray} a - \operatorname{i} b \end{eqnarray}$ Nullstelle. Wenn daher $\begin{eqnarray} 2 + 2\operatorname{i} \end{eqnarray}$ Nullstelle ist, so muß auch $\begin{eqnarray} 2 - 2\operatorname{i} \end{eqnarray}$ Nullstelle sein. Du kannst daher die Linearfaktoren $\begin{eqnarray} z - (2 + 2\operatorname{i}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z - (2 - 2\operatorname{i}) \end{eqnarray}$ vom gegebenen Polynom abspalten (Polynomdivision). Ich empfehle dir jedoch, die beiden Linearfaktoren erst miteinander zu multiplizieren, weil so ausmultipliziert ein reelles quadratisches Polynom entstehen muß. Dann würde ich dieses Polynom vom gegebenen Polynom mittels Polynomdivision abspalten. Es verbleibt ein quadratisches Polynom, dessen Nullstellen du nach der Lösungsformel bestimmen kannst. Unter dem Argument einer komplexen Zahl $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ versteht man den Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ , unter dem der Vektor von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ zum Vektor von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ in der Gaußschen Zahlenebene geneigt ist. Und wenn du nicht weißt, was man unter der Menge $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ der komplexen Zahlen versteht, dann kannst du alles, was ich soeben erklärt habe, wieder vergessen. Denn die Kenntnis dieser Zahlenmenge ist bei dieser Aufgabe Voraussetzung.
19.03.2005, 15:18	Maegashira	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke! Ich hatte direkt auf die "normale" Kurvendiskussion geschlossen und den Zusammenhang mit den komplexen Zahlen (Zahlenraum C?) gar nicht geblickt. Aber prinzipiell verstehe ich deinen Lösungsweg schon. Muss jetzt "nur" noch checken, wie das mit den komplexen Zahlen funktioniert... GGG
19.03.2005, 20:26	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Bestimmung des Arguments nimmst du am besten die Polarkoordinaten Darstellung. $\begin{eqnarray} z=rexp(i\varphi) \end{eqnarray}$ Der Winkel wird da auch das Argument genannt. $\begin{eqnarray} \cos\varphi=\frac{\Re(z)}{\|z\|}\\\sin\varphi=\frac{\Im(z)}{\|z\|} \end{eqnarray}$

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