Logarithmus auffrischen |
| 19.03.2005, 15:51 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Logarithmus auffrischen Ich würde gerne im Bereich Logarithmus meine Kenntnisse wieder etwas auffrischen, da es schon ein par Jahre her ist, dass ich das in der 9. und 10 Klasse gemacht habe. Generell hätte ich gerne eine einfache Erkärung was das Anwenden von Logarithmusfuntkionen angeht. Also die Grundregeln der Umstellung und Anwendung. Und bitte: Keine speziellen Logarithmusfunktionen, sondern die ganz einfachen. Ich bin keine Mathestudent! 
Besten Dank mercany |
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| 19.03.2005, 16:21 | yeti777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Logarithmus auffrischen Schau mal hier: http://www.mathematik.net/log-fkt/0-inhalt-1.htm Gruss yeti |
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| 19.03.2005, 23:55 | babelfish | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
warum so weit weg, wenn das gute doch so nah ist? 
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=1423 |
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| 20.03.2005, 09:41 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Logarithmus auffrischen Und das liegt am allernächsten, hihi: ln heißt Hochzahl(eigentlich heißt es natürlicher Logarithmus, aber ich erklär das immer so, dass es Hochzahl heißt) und das kommt immer dann zum Einsatz, sobald deine Hochzahl eine Unbekannte ist. Bisher hast du immer gerechnet: x³ * x² usw... Da war die Basis unbekannt, aber die Hochzahl nicht. Wenn du nun stehen hast: 3^x = 9 Dann ist deine Hochzahl unbekannt und du brauchst ln, damit du die Hochzahl herunter holen kannst. Hier in diesem Fall kann man erraten, was x ist, denn 3² = 9 aber was ist, wenn da steht: 3^x = 7 dann wirds schon komplizierter. Dazu muss man die ln/log-Gesetze wissen. Da es hier um die Hochzahlen geht, muss man sich überlegen, was mit denen geschieht, wenn z.b. die Basis addiert wird, subtrahiert wird, multipliziert wird oder dividiert wird. x² + x³ = x² + x³ >> kann man nicht addieren daher: ln (a + b) = ln(a + b) x² * x³ = x^(2 + 3) daher: ln(a * b) = lna + lnb Das heißt übersetzt: Was passiert mit den Hochzahlen, wenn die Basis multipliziert wird: Hochzahl von a (= lna) plus Hochzahl von b (=lnb) ln(a/b) = lna - lnb denn: x³/x² = x^(3 - 2) lna^r = r * lna denn: (x²)³ = x^(2 * 3) Und genau DAS ist das wichtigste LOG/LN-Gesetz, denn das heißt, sobald ein Ausdruck unter ln steht, darf man die Hochzahl des Ausdrucks nach vor multiplizieren: lnx³ = 3 * lnx ln(5^x) = x * ln5 Das heißt, sobald du eine Gleichung unter ln setzt ( aber du musst die komplette linke Seite unter ln setzen und die komplette rechte Seite unter ln und dann nach den ln Gesetzen auflösen), so bekommst du die unbekannte Hochzahl herunter: z.b. 3^x = 7 | unter ln setzen ln3^x = ln7 x * ln3 = ln7 x = ln7/ln3 das kannst nun in den TR eingeben und weißt nun, womit du 3 potenzieren musst, damit 7 rauskommt. Der Unterschied zwischen lg und ln ist der, dass lg die Basis 10 hat und ln hat die Basis e: ³log5 Wenn das so da steht, kann man das umschreiben in: 3 ist die Basis, 5 ist das Endergebnis, und dazu denken musst dir, weils nicht da steht: = unbekannte Hochzahl daher: ³log5 >> 3^x = 5 Wenn jetzt nur lg5 da steht, dann ist automatisch 10 die Basis: 10^x = 5 steht ln3 da, dann bedeutet das: e = Basis, 3 ist Endergebnis, und wieder dazudenken: = unbekannte Hochzahl ln3 >> e^x = 3 e ist die euler'sche Zahl und hat so ca. den Wert: 2,718....... ein paar wichtige lg's und ln's: ln1 >> e^x = 1 >> x = 0...denn jede Zahl hoch 0 ist 1 daher: ln1 = 0 lne >> e^x = e >> e^1 = e >> x = 1 lne = 1 ln0 e^x = 0 >> du wirst für x keine Zahl finden, die du einsetzen kannst, sodass 0 heraus kommt. Setzt du für x 0 ein, dann ist e^0 = 1 Setzt du eine Minuszahl ein, so verschiebt sich das e mit der Hochzahl bloß in den Nenner: e^(-1) = 1/e ln(-1) e^x = -1 >> du wirst keine Zahl für x finden, sodass -1 raus kommt. Daher darf unter dem ln (und auch unter dem lg) keine Minuszahl und keine 0 stehen. lg10 >> 10^x = 10 lg10 = 1 lg100 >> 10^x = 100 10^x = 10^2 lg100 = 2 usw.... wenn du stehen hast: e^(ln3) so hebt sich e und ln auf und es bleibt die Zahl 3 übrig e^ln3 = 3 D.h. du kannst jede Zahl umschreiben in e^lnZahl. Das ist wichtig bei den e-Funktionen und der Kurvendiskussion, denn oft steht da dann z.b.: e^(-ln2) dann lässt sich das folgendermaßen umformen: e^(-1 * ln2) >> nach den ln-Gesetzen, die ich dir da oben aufgeschrieben hab, gilt, dass jede Zahl, die mit dem ln multipliziert war, ursprünglich die Hochzahl vom Ausdruck unterm ln war: e^[ln(2)^-1] und nun hebt sich e und ln wieder auf und es bleibt: 2^(-1) übrig 2^(-1) = 1/2 DAs mal so kurz zu e, ln und log und lg.... lg kiki |
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| 20.03.2005, 13:22 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super kikira! Deine Erklärung hat mir wirklich weiter geholfen und an einigen Stellen kamen auch wieder Gedanken wie: "Mensch das hast du so doch auch schonmal gemacht" hoch. 
Das Einzige was mir noch nicht ganz so klar geworden ist, ist das mit dem lg und ln bezüglicher der Basis. Also: Du sagtes ja, dass wenn da nur lg steht, dann ist die Basis automatisch mit 10 definiert und der Wert unter ln/lg ist das Ergebniss. ?! So... Oben in einem Beispiel schreibst du aber folgendes: 3^x = 7 x * ln3 = ln7 ...... Wenn du da ln3 stehen hast, müsste das dann nicht eigentlich die 3 das Ergebniss sein und nicht die Basis. Weil ln3 wäre ja eigentlich: e^x = 3 | Oder??? lg mercany |
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| 20.03.2005, 15:20 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, wenn ich ln3 umformen möchte in eine Exponentialgleichung, dann muss da stehen: e^x = 3 Wenn du die Gleichung hast: 3^x = 7 dann ist 3 die Basis, x ist die Hochzahl, 7 das Endergebnis. ln hat aber die Basis e. Nun müsste man strenggenommen, das ganze in log umschreiben, denn der log hat eine variable Basis: ³log7 >> 3 ist nun die Basis, 7 ist das Endergebnis und dazudenken muss man sich: = Kasperl (=unbekannte Hochzahl) Das Problem dabei ist aber, dass man das ja erst wieder in eine Gleichung umformen muss, denn am TR (zumindest auf meinem vorsintflutlichen Gerät - ich hasse Taschenrechner und verwend sie kaum) gibts keine log-Taste...nur ln und lg. Da aber 3^x = 7 eine Gleichung ist und wenn ich die unter ln setze, so setz ich ja alles unter ln und die "Waage" bleibt sozusagen im Gleichgewicht. Daher ist es egal, ob du nun die Gleichung unter ln oder unter lg setzt. Da dann lg7/lg3 das gleiche ergibt wie ln7/ln3. edit: Außerdem lässt sich das nicht mehr vergleichen, denn bei: x * ln3 = ln7 steht das x bereits außerhalb des ln und somit könntest du nicht mehr nach dieser Methode umformen. Und wenn du nun für ln3 >> e^x = 3 hinschreiben würdest, dann würdest du eine Gleichung in einer Gleichung haben. Wenn da steht: ln3^x = ln7 dann könntest du das umschreiben in: e^(ln7) = 3^x und da e hoch ln sich aufhebt, kommst wieder zu der Zeile: 7 = 3^x lg kiki |
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| 20.03.2005, 18:34 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Soweit ist es klar.... Nur das der Wert unter ln jetzt das Ergebniss ist, ist klar. Und e ist automatisch die Basis. Nur müsste eigentlich x ja der Exponent sein, also das was gesucht wird. Ich kann jetzt also nicht ganz nachvollziehen, warum du ln7 einfach in den Exponenten packst. Gruss mercany |
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| 20.03.2005, 20:11 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weil alles, was rechts vom Gleichheitszeichen steht, die Hochzahl der Basis ist. Wenn du stehen hast: ln3^x = ln7 Dann ist ln7 die Hochzahl, e ist die Basis und 3^x ist das Endergebnis. daher: e^(ln7) = 3^x lg kiki edit: Du hast mich doch gefragt, wieso, wenn da steht: x * ln3 = ln7 wieso nun 3 das Endergebnis ist und nicht mehr die Basis. 1. Kann man das hier nicht mehr anwenden, weil das x außerhalb des ln steht. 2. Wenn das x wieder zur Hochzahl von der 3 wird, dann gilt aber folgendes: ln3^x = ln7 ln hat IMMER die Basis e. Wenn da steht: ²log5....dann musst du dir bei ln statt der 2 das e hindenken, weil beim ln IMMER e die Basis ist, steht das daher nicht mehr extra da oben dabei. daher gilt nun: e^ln7 = 3^x und in weiterer Folge, weil e^ln sich aufhebt: 7 = 3^x Das soll nur die Erklärung dafür sein, wieso hier nicht mehr gilt: ln7 >> 7 wäre das Endergebnis. Wie würdest du das denn dann umformen? x * ln3 = ln7 ln3 >> e^x = 3 ln7 >> e^x = 7 nun setz ich beides in obige Gleichung ein: x * [ e^x = 3] = e^x = 7 Da wären ein bisserl viel Gleichheitszeichen. Du musst daher die ganze Zeile bereits als Exponentialgleichung auffassen. Das geht aber erst, wenn auf der linken Seite alles unter ln steht. Das x steht aber außerhalb des ln. Daher zuerst mal unter den ln bringen. ln3^x = ln7 Und nun ist das eine Gleichung. Was rechts vom = steht, muss die Hochzahl sein. ln hat die Basis e und was links unterm ln steht, ist das Endergebnis. Also wird das dann so umgeformt: e^ln7 = 3^x usw... denn: ln10 >> da fehlt eigentlich etwas und zwar müsste es exakt so da stehen: lnFranzi = Kasperl Kasperl ist die Hochzahl, was unterm ln steht, ist das Endergebnis und links oben steht unsichtbar e. e^Kasperl = Franzi Verstehst nun? lg kiki |
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| 20.03.2005, 21:34 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auch wenn es schwer zu glauben ist: Ich habe das Gefühl, dass ich das alles jetzt soweit recht gut verstanden habe. Und falls nicht, so kann ich hier ja immer nochmal nachgucken.... :-) BIG THANKS an dich kikira! Du hast einen gut bei mir....
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| 20.03.2005, 21:56 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gern geschehen! Kannst auch immer gern fragen, falls irgendwas noch unklar sein sollte.
lg kiki |
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| 03.04.2005, 15:37 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, ich bins nochmal! :-) Jetzt habe ich mir den Text nach längerer Pause nochmal durch den Kopf gehen lassen und bin da doch noch auf eine Frage gestoßen. Ich verstehe noch nicht ganz was die Zahl vor dem ln/log zu bedeuten hat. Also zum Beispiel bei: ³ln5 Wenn vor dem ln in diesem Falle z.B. die 3 steht, wäre dann 3 die Basis? Und würde davor nichts stehen, wäre dann e die Basis. Also: ³ln5 >> 3^x = 5 >> x * ln3 = ln5 ln5 >> e^x = 5 ?????? Gruss Jan |
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| 03.04.2005, 15:47 | babelfish | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die zahl davor soll die basis angeben, aber du wirst dieses beispiel NIE finden, weil beim ln die basis IMMER e ist! also heißt es immer bloß zb... und das ist dann die basis wird immer nur beim log angegeben!!! also zb wird zu wenn du irgendwo lg siehst, ist die basis 10 gemeint, also zb gemeint ist: alles klar? |
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| 03.04.2005, 15:58 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar, danke! |
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