Gauß Algorithmus

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Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß Algorithmus
Hallo ich habe ein problem beim Lösen folgender Aufgabe.


-4x1-12x2=-20
-10x1+15x2=40

So richtig habe ich die Anwendung des Gauß Algorithmus noch nicht verstanden.

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Gruß Kira
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

vereinfache erst mal deine gleichungen..
du kannst sie durch ganze zahlen komplett dividieren, ohne das LGS zu verändern...

also z.b. 2x+4y=6 ist äquivalent zu x+2y=3

erste zeile durch (-4), zweite zeile durch 5 teilen....

danach: was verstehst denn am gaussalgorithmus nicht?
 
 
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe ein Beispiel in meinem Mathebuch

4x1+12x2=20
-2x1+3x2=8


4x1+12x2=20
18x2=36


4x1+12x2 =20
x2=2

die obige Aufgabe habe ich verstanden ist an der unteren irgendwas anders da ich die irgendwie nicht verstehe.

An dem Gauß Algorithmus verstehe ich die einzelnen Schritte dieman durch führen muss noch nicht ganz.


4x1-12x2=-20
-10x1+15x2=40
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

der gaussalgorithmus ist gar nicht so schwer.
weißt du, was eine einfache treppenform ist?
vielleicht habt ihrs auch zeilenstufenform oder so genannt?
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ne leider nicht den hatte ich in der Schule ja noch gar nicht

aber wenn der nicht so schwer ist dann werde ich den bestimmt auch kapieren.

Möchte den gerne lernen da ich den für mein BWL Studium brauche und wir den in der Schule nicht machen.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich mach mal den einfachen....
und ich machs in matrixschreibweise.... und mal allgemein für 3x3 LGS.

ausgangsLGS


ziel ist durch zeilenumformungen etwas der art zu erhalten (einfache treppenform)


dabei könne die resteinträge von den obigen verschieden sein 8die wurden mitverändert)...

aus der treppe kannst du nun ablesen:
die 3. unbekannte aus der 3. gleichung, das dann in die 2. gleichung einsetzen und die 2. unbekannte lösen......

also aus der treppe kann man die lösung schnell ablesen, okay?


klarsoweit?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja man muss doch die Form immer auf dreiecks Form umwandeln oder?

Das hast Du doch auch gemacht mit den 3 Nullen

am besten man nimmt mal ein zahlen Beispiel

kann ja mal eins nehmen
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

okay, einfache treppenform, zeilenstufenform, dreiecksform - ist alles das gleiche.

was genau verstehst du am algorithmus nicht?
du erzeugst nacheinander die 0er....



edit: achja, danke, MSS fürs verschieben!
immer zur rechten zeit Augenzwinkern
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Nehme mal die Aufgabe aus meinem Mathebuch


x1+x2+3x2=6
2x1+3x2+5x3=9
-3x1-4x2-2x3=-3


das ich die Gleichungen jetzt erst mal auf Dreiecksform bringen muss weiß ich

weiß nur nicht die einzelnen rechen schritte um die Lösungsmenge zu erhalten.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nimm die erste zeile als hauptzeile, d.h. die bleibt stehen...

Zitat:
x1+x2+3x2=6
2x1+3x2+5x3=9

der fette teil soll zu 0 werden.
dafür addiere das (-2) fache der ersten zeile auf die zweite, dabei ändert sich das LGS nicht.

x1+x2+3x2=6 bleibt erhalten; in gedanken *(-2) und auf die 2. zeile addieren
ergibt eine neue zweite zeile: 0 + x² - x³ = -3
genau das machst du auch mit der dritten zeile....

danach hat dein LGS schon mal die form:

***
0**
0**

jetzt nimmst du die zweite zeile als hauptzeile und erzeugst in zeile 3 an der entsprechenden stelle mit dem gleichen verfahren eine 0....

klar?
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

habe mal die ersten 3 Zeilen errechnet

1 1 3 =6
0 1 -1 =-3
0 -1 7 = 15

ist die zweite zeile richtig
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ja, so ist es korrekt.... Freude

der gaussalgorithmus geht nun weiter, addiere die 2. auf die 3. zeile und schon hast du dreiecksform.



noch als tipp:
wenn du sowas hast:
2....
3....
gauss sieht vor: -(3/2)mal die erste auf die zweite......

effektiver: erweitere die 2. zeile direkt erst mal mit 2
2....
6....
dann kannst du (-3) mal die erste draufaddieren und musst nicht so viel mit brüchen hantieren
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Frage nur nochmal nach damit ich nichts falsch vestehe

2x1+3x2+5x3=9
-3x1-4x2-2x3=-3

muss die -3x jetzt null werden, ich gehe doch immer von der Ursprungsgleichung aus oder
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
x1+x2+3x2=6 <-- hauptzeile, mit der wird gauss abgewandt für alle darunterliegenden gleichungen
2x1+3x2+5x3=9
-3x1-4x2-2x3=-3




Zitat:
1 1 3 =6
0 1 -1 =-3 <-- hauptzeile, mit der wird gauss abgewandt für alle darunterliegenden gleichungen
0 -1 7 = 15



richtig, das mit dem 2, 3 war auch nur allgemein und nicht auf dieses beispiel...
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

so nochmal alle drei zeilen zusammen

1 1 3 =6
0 1 -1 =-3
0 0 6 = 12

so

nehme noch mal eine andere Aufgabe


x1+x2-x3=0
2x1-2x2+3x3=7
-3x1+4x2-2x3=-1
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
1 1 3 =6
0 1 -1 =-3
0 0 6 = 12


das musst du jetzt ausrechnen, das ist ja nichst anderes (ich nenne die unbekannten mal x,y,z) als:
1x + 1y +3 z =6
...

damit errechnest du aus der 3. zeile: z=2 usf.
verrat uns (mir) doch noch mal die ganze lösung!



Zitat:
x1+x2-x3=0
2x1-2x2+3x3=7
-3x1+4x2-2x3=-1

in eine matrix scheiben, hauptzeile wählen und los gehts!
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Also erst nochmal zur ersten Aufgabe

die Lösungsmenge ist

(2;-1;1)

x2-2=-3 X2 =-1

x1-1+6=6 X1 =1
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
die Lösungsmenge ist

(2;-1;1)


beachte: die reihenfolge ist falsch gedacht....
seien deine unbekannten x,y,z
dann ist {(x,y,z)}={(1,-1,2)} in dieser reihenfolge!
klar?
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja an die Reihenfolge hatte ich auch nicht gedacht ist aber klar

so dann mal zur zweiten Aufgabe

x1+x2-x3=0
2x1-2x2+3x3=7
-3x1+4x2-2x3=-1

1 1 -1 =0
0 -4 5 =7
0 7 -5 =-1

Gehe erst mal schritt für schritt vor

Danke übrigens für Deine Hilfe
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ja, die ersten beiden schritte stimmen!
jetzt noch der letzte schritt und dann fertigrechnen.

wenn du noch den verbesserten gaussalgorithmus zur vollen treppe (nicht nur dreiecksform) kennen lernen willst, dr ist mehr arbeit, dafür besser zum ablesen, dann sags!

das verfahren scheinst ja begriffen zu haben!

mfg jochen
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Schritt 3

1 1 -1 =0
0 -4 5 =7
0 3 0 = 6


dort stimmt aber doch was nicht oder wennn ich die zweite auf die dritte Zeile addiere.
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Entschuldigung das ich mich da so direkt einmische, aber wo ihr schon am diskutieren seid:
Ich habe da mal eine Frage zu der zweiten Zeile und eine zum allgemeinen Verständniss:

Zum Allgemeinen Verständniss:
sind mit x1 und x2 und x3 verschiedene variablen gemeint, also wie f und f' ???

Zu Zeile Zwei:
Bei dem Ergebniss der zweiten Zeile, wie kommt ihr da auf -x³ ?
(Bezieht sich auf die allererste Aufgabe)


Könnte jemand eine der Aufgaben hier vielleicht mal mit kurzen Kommentaren genau durchrechnen.
Ich würde den Algorithmus nämlich gerne genauer verstehen, habe mich aber noch nicht wirklich damit beschäftigt.



Gruss
mercany
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

naja, du erzeugst die 0 an einer anderen stelle als der gaussalgorithmus vorsieht...
aber das ist hier natürlich clever, weil einfacher....
und es ist natürlich auch richtig!
ist jetzt halt nicht mehr direkt ein dreieck Augenzwinkern

jetzt kannst du x2 aus der 3. zeile ablesen, in die 2. einsetzen, wie gehabt...


edit: @mercany: was verstehst denn am algorithmus nicht?
lies dir erst mal den ganzen thread durch, ich will das nicht noch mal von vorne erklären müssen...
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Na super dann hab ich es verstanden fehlt nur noch die Lösung

die kommt sofort moment
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

prima, kira! war doch gar nicht so schwer!
das verfahren wird dir bald in fleisch und blut übergehen, wenn du das öfters machst....



noch zum vollständigen gauss:
hier bringst du das LGS mit gleichem algorithmus (nun auch nach oben) auf diese form:
100....0
0100..0
0010..0
...
00....10
00..001

aus der form kannst du dann alles direkt ablesen
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
edit: @mercany: was verstehst denn am algorithmus nicht?
lies dir erst mal den ganzen thread durch, ich will das nicht noch mal von vorne erklären müssen...


Habe ich schon.
Den Schritt, wie man die Sachen voneinander abzieht. Bei dem was hier schon steht wird mir der Sinn zwar klar, ich verstehe aber nicht wie ihr auf die Zahlen kommt.

Und dann den Schritt, was man danach macht. Also wenn man alles voneinander abgezogen hat.


Deshalb wäre es ja nett, wenn einer mal eine Aufgabe hier mit Kommentaren vorrechnen könnte.
Muss ja kein Roman werde..... :-)



Herzlichen Dank
mercany
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

also zur Lösung

x3= 2

bei den anderen beiden weiß ich nicht genau wie man die jetzt richtig einsetzt

man setzt doch die 2 für x2 in die zweite gleichung ein oder ?

sorry habs schon gesehen
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

also du nimmst die erste zeile, die ist z.b.; * sind beliebige zahlen
1 * * | *
zweite/dritte zeile seien:
-2 * * | *
-3 * * | *

der gaussalgorithmus sieht nun vor, dass du die erste als hauptzeile stehenlässt und unter der 1 oben links nuller erzeugst
das heißt durch addieren von vielfachen der ersten zeile auf diese, willst du die -2 und die -3 zu 0 machen

also: 2*die erste auf die zweite
und anschließend: 3* die erste auf die dritte

deine jetztige form ist:
1**|*
0**|*
0**|*

klarsoweit?




edit: @kira: ja x2=2 in die 2. gleichung einsetzen, ergibt x3=3
edit2: "x3= 2" <-- das ist falsch, x2=2, siehst dus?
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Also zur Lösungsmenge

x2 =2

muss ich genau in welche gleichung eisetzten, genau an der Stelle habe ich noch schwierigkeiten sonst ist es klar

X3 = -4*2+5= -3

aber wie kommst du auf plus 3
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
1 1 -1 =0
0 -4 5 =7
0 3 0 = 6

wie gehabt lösen....
x2=2
setzt du in beide anderen gleichungen ein, danach kannst du x3 aus der 2. gleichung ablesen, und wenn du das dann auch noch in die erste einsetzt, dann hast du auch noch x1.

im edneffekt bekommst du nach einsetzen von x2 in die anderen gleichungen einfach ein neues LGS.

1 -1 | 2
0 5 | 15

das erste steht für *x1, das zweite für *x3; x2 ist als 2 bestimmt
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Moment noch mal langsam

wie kommst du auf die Zeile 0 5 15

in dem Du die X2 wo einsetzt ?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
1 1 -1 =0
0 -4 5 =7
0 3 0 = 6


augeschrieben heißt das ja:
x1 + x2 -x3 =0
0x1 - 4x2 + 5x3 = 7
0x1 + 3x2 + 0x3 =6

aus der 3. gleichung: x2=2

x1 + 2 - x3 = 0 <=> x1-x3=-2
0x1 + -8 + 5x3 =7 <=> 5x3 =15

ergibt neues matrix-LGS:
1 -1 | 2
0 5 | 15
erstes für x1, zweites für x3

klar?
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

nicht so ganz was bedeuten überhaupt dei Pfeile die sind in meinem Mathebuch auch
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kira 007
nicht so ganz was bedeuten überhaupt dei Pfeile die sind in meinem Mathebuch auch


Wenn du die "<=>" meinst, das sind äquivalent Zeichen.


@LOED
Okey, ich addiere dann also so auf die 2. und 3. Zeile, dass der erste Wert jeweils 0 wird?!
Und ausgehen tue ich ja immer von der 1. Zeile aus.

Dann hätte ich z.B. soeine Form:
x1+x2+x3 = 3
0+2x2-x3 = 4
0+3x2-2x3 = -2

Was mache ich dann?


Gruss
mercany
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei mir funkt es noch nicht mit der Lösungsmenge

da blicke ich noch nicht durch
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

@kira: was genau ist dein problem?

@mercany: ziel ist die dreiecksform, s. vorne
also bei 3x3 sowas:
***=*
0**=*
00*=*

ausgehend von:
***=*
0**=* <-- dies ist die hauptzeile, gauss für alle unterliegenden zeilen;
0**=*2. zeile, also 0 erzeugen in 2. spalte

der blaue stern wird als nächstes zur 0.

am ende kann man die lösungen rekursiv finden... klar?
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich weiß nicht wie man die anderen beiden Lösungsmengen bestimmt.

Mir ist schon klar das man z.B X2= 2 in die andern Gleichungen einsetzten muss, aber wie man das genau errechnet weiß ich nicht

kannst Du mir das vielleicht schritt für schritt an einem Beispiel zeigen.

Gruß Kira
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Zitat:
1 1 -1 =0
0 -4 5 =7
0 3 0 = 6


augeschrieben heißt das ja:
x1 + x2 -x3 =0
0x1 - 4x2 + 5x3 = 7
0x1 + 3x2 + 0x3 =6

aus der 3. gleichung: x2=2

x1 + 2 - x3 = 0 <=> x1-x3=-2
0x1 + -8 + 5x3 =7 <=> 5x3 =15

ergibt neues matrix-LGS:
1 -1 | 2
0 5 | 15
erstes für x1, zweites für x3

klar?


das habe ich hier doch schon mal angefangen... was verstehst du denn daran nicht?
ich setze x2 in die beiden anderen gleichungen ein und erhalte dann ein LGS mit 2 gleichungen und 2 unbekannten (x1, x3)
rechne doch mal fertig.....

das hast du doch oben auch geschafft
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
[quote]Original von LOED
[QUOTE]1 1 -1 =0
0 -4 5 =7
0 3 0 = 6


augeschrieben heißt das ja:
x1 + x2 -x3 =0
0x1 - 4x2 + 5x3 = 7
0x1 + 3x2 + 0x3 =6

aus der 3. gleichung: x2=2

x1 + 2 - x3 = 0 <=> x1-x3=-2
0x1 + -8 + 5x3 =7 <=> 5x3 =15

ergibt neues matrix-LGS:
1 -1 | 2
0 5 | 15
erstes für x1, zweites für x3

ich verstehe den Teil mit diesen beiden zeilen nicht


ergibt neues matrix-LGS:
1 -1 | 2
0 5 | 15
erstes für x1, zweites für x3

Die Pfeile sind Aquivalentpfeile oder
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