Volumen Tetraeder (Ähnliche Körper) |
19.03.2005, 23:55 | Wanze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Volumen Tetraeder (Ähnliche Körper) Die Schwerpunkte der Seitenflächen eines regulären Tetraeders seien die Eckpunkte eines kleinen Tetraeders. In welchem Verhältnis stehen die beiden Tetraedervolumen? Die Lösung hab ich, beträgt 9:1 => allerdings komm ich nicht auf den Lösungsweg Also folgendes hab ich: gross = grosser tetraeder klein = kleiner tetraeder Dreieckseite[gross] = 1s V[gross] = * ADreicksfläche * Raumhöhe H V[gross] = 0.11785113 s V[klein] = x Nun habe ich das Problem, wie ich eine Strecke oder Höhe des kleinen Tetraeders herausfinden kann... bei ähnlichen Körpern gilt ja Längen: k = Flächeninhalte: = Volumen: = Wenn ich also auf den Faktor k bestimmen kann, könnte ich das kleine Volumen ausrechnen... leider kann ich keine Skizze machen, aber ich seh das so: Der kleine Tetraeder ist verdreht im Grossen Kann mir jemand weiterhelfen? Vielen Dank |
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20.03.2005, 09:38 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vide! |
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20.03.2005, 11:56 | Wanze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Skizze! So hab ichs auf meinem Papier auch... nur blick ich immer noch net durch. Wie komm ich von dem 0.5 a auf die kleine Seite? Der Schwerpunkt trennt die Höhe der Dreiecksfläche A in 3tel... ich sehe dort ein Dreieck welches ich im Bild schwarz umrahmt habe... dann habe ich ein gleichschenkliges (beide Schenkel 1/3 * h). Aber mir fehlt ein Winkel um die gesuchte Seite a' auszurechnen Kann mir jemand noch einen anderen Tipp geben wie ich die Seite rauskriege? http://server6.cyon.ch/~keinedom/math/Tetraeder im Tetraeder_neu.gif |
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20.03.2005, 12:37 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
für den Winkel kann man das Dreieck aus dem Seitenmittelpunkt und den beiden gegenüberliegenden Ecken betrachten. Von dem kennt man alle 3 Seiten (2 mal h und einmal a) und der Winkel ist genau der der dir fehlt (aber man kriegt a' dann auch direkt über ähnliche Dreiecke a'=1/3a) |
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20.03.2005, 12:51 | Wanze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also deine Erklärung hab ich nicht so ganz verstanden Aber wenn a' = 1/3a wäre, stimmt das Verhältnis der Volumen von 9:1 nicht überein *hmm*... k = 1a / 1/3a = 3 = 27 27 = x = 0.004364857 Somit hab ich kein Volumenverhältnis von 9:1.... oh man ich raffs einfach nicht |
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20.03.2005, 13:14 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ohne jetzt zusätzliche Verwirrung stiften zu wollen: Das gesuchte Volumenverhältnis ist unabhängig von der Tetraederform! D.h., für ein beliebiges Tetraeder kommt dasselbe Volumenverhältnis wie für das reguläre Tetraeder heraus. Alles was man braucht ist, dass der Schwerpunkt einer Dreiecksfläche die zugehörigen Seitenhalbierenden jeweils im Verhältnis 2 : 1 teilt. Und natürlich noch ein bisschen Strahlensatz. |
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20.03.2005, 13:30 | Wanze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm... soweit sind wir doch schon? Vielleicht verstehe ich auch die Aufgabe falsch Also ein Volumenverhältnis von 9:1 bedeutet für mich, dass das Volumen des grossen Tetraeders 9 mal grösser ist als des kleinen Tetraeders. Da ich das grosse Volumen ausgerechnet habe (hoffe das stimmt), stimmt die Lösung mit a' = 1/3a leider nicht. |
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20.03.2005, 13:33 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a' = 1/3a stimmt. Was nicht stimmt, ist das Volumenverhältnis: Das ist nämlich 27 : 1 . |
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20.03.2005, 14:58 | Wanze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für eure Hilfe! Dann hab ich ne falsche Lösung als Vorgabe bekommen. Naja werd jetzt meinen Lösungsweg dokumentieren und bin gespannt was meine Mathlehrerin meint |
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