Volumen Tetraeder (Ähnliche Körper)

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Wanze Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen Tetraeder (Ähnliche Körper)
Hallo zusammen... ich hab ein ziemliches Problem wo ich einfach nicht weiter komm:

Die Schwerpunkte der Seitenflächen eines regulären Tetraeders seien die Eckpunkte eines kleinen Tetraeders. In welchem Verhältnis stehen die beiden Tetraedervolumen?

Die Lösung hab ich, beträgt 9:1 => allerdings komm ich nicht auf den Lösungsweg Hilfe

Also folgendes hab ich:

gross = grosser tetraeder
klein = kleiner tetraeder

Dreieckseite[gross] = 1s
V[gross] = * ADreicksfläche * Raumhöhe H
V[gross] = 0.11785113 s
V[klein] = x

Nun habe ich das Problem, wie ich eine Strecke oder Höhe des kleinen Tetraeders herausfinden kann... bei ähnlichen Körpern gilt ja

Längen: k =
Flächeninhalte: =
Volumen: =

Wenn ich also auf den Faktor k bestimmen kann, könnte ich das kleine Volumen ausrechnen... leider kann ich keine Skizze machen, aber ich seh das so: Der kleine Tetraeder ist verdreht im Grossen Augenzwinkern

Kann mir jemand weiterhelfen?Idee! Vielen Dank
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vide!
Wanze Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Skizze! So hab ichs auf meinem Papier auch... nur blick ich immer noch net durch. Wie komm ich von dem 0.5 a auf die kleine Seite?

Der Schwerpunkt trennt die Höhe der Dreiecksfläche A in 3tel... ich sehe dort ein Dreieck welches ich im Bild schwarz umrahmt habe... dann habe ich ein gleichschenkliges (beide Schenkel 1/3 * h). Aber mir fehlt ein Winkel um die gesuchte Seite a' auszurechnen verwirrt

Kann mir jemand noch einen anderen Tipp geben wie ich die Seite rauskriege? Mit Zunge

http://server6.cyon.ch/~keinedom/math/Tetraeder im Tetraeder_neu.gif
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

für den Winkel kann man das Dreieck aus dem Seitenmittelpunkt und den beiden gegenüberliegenden Ecken betrachten. Von dem kennt man alle 3 Seiten (2 mal h und einmal a) und der Winkel ist genau der der dir fehlt (aber man kriegt a' dann auch direkt über ähnliche Dreiecke a'=1/3a)
Wanze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von quarague
für den Winkel kann man das Dreieck aus dem Seitenmittelpunkt und den beiden gegenüberliegenden Ecken betrachten. Von dem kennt man alle 3 Seiten (2 mal h und einmal a) und der Winkel ist genau der der dir fehlt (aber man kriegt a' dann auch direkt über ähnliche Dreiecke a'=1/3a)


Also deine Erklärung hab ich nicht so ganz verstanden verwirrt
Aber wenn a' = 1/3a wäre, stimmt das Verhältnis der Volumen von 9:1 nicht überein *hmm*...

k = 1a / 1/3a = 3
= 27

27 =

x = 0.004364857

Somit hab ich kein Volumenverhältnis von 9:1.... oh man ich raffs einfach nicht Forum Kloppe
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne jetzt zusätzliche Verwirrung stiften zu wollen: Das gesuchte Volumenverhältnis ist unabhängig von der Tetraederform! D.h., für ein beliebiges Tetraeder kommt dasselbe Volumenverhältnis wie für das reguläre Tetraeder heraus. Alles was man braucht ist, dass der Schwerpunkt einer Dreiecksfläche die zugehörigen Seitenhalbierenden jeweils im Verhältnis 2 : 1 teilt. Und natürlich noch ein bisschen Strahlensatz.
 
 
Wanze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Ohne jetzt zusätzliche Verwirrung stiften zu wollen: Das gesuchte Volumenverhältnis ist unabhängig von der Tetraederform! D.h., für ein beliebiges Tetraeder kommt dasselbe Volumenverhältnis wie für das reguläre Tetraeder heraus. Alles was man braucht ist, dass der Schwerpunkt einer Dreiecksfläche die zugehörigen Seitenhalbierenden jeweils im Verhältnis 2 : 1 teilt. Und natürlich noch ein bisschen Strahlensatz.


hmm... soweit sind wir doch schon? Vielleicht verstehe ich auch die Aufgabe falsch Augenzwinkern

Also ein Volumenverhältnis von 9:1 bedeutet für mich, dass das Volumen des grossen Tetraeders 9 mal grösser ist als des kleinen Tetraeders.

Da ich das grosse Volumen ausgerechnet habe (hoffe das stimmt), stimmt die Lösung mit a' = 1/3a leider nicht.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

a' = 1/3a stimmt. Was nicht stimmt, ist das Volumenverhältnis: Das ist nämlich 27 : 1 .
Wanze Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Hilfe! Freude

Dann hab ich ne falsche Lösung als Vorgabe bekommen. Naja werd jetzt meinen Lösungsweg dokumentieren und bin gespannt was meine Mathlehrerin meint Big Laugh
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