Gedankenanstoß - Differenzierbarkeit

20.03.2005, 21:10	Tobias84	Auf diesen Beitrag antworten »
Gedankenanstoß - Differenzierbarkeit Habe noch bei einer Aufgabe kleine Unstimmigkeiten ..........tx³ - 2; für f x < 0,5 F(x)={............................} .........x^4 + s ;für x >0 0,5 Für welches s und t ist f(x) an der Stelle Xo=0,5 stetig und differenzierbar? Also stetig heißt dass f(x) gleich sein muss. also t+0.5³ - 2 = - 0.5^4 Dann nach t auflösen, und diese t dann einsetzen, um s zu bekommen, stimmt diese Überlegung so von mir? Muss ich nun auch noch die Ableitung überprüfen oder soll ich gleich mit der Ableitung anfangen, um die Differenzierbarkeit nachzuweisen?
20.03.2005, 21:32	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal deine Funktion ordentlich darstellen: $\begin{eqnarray} F(x)=\begin{cases}tx^3-2 & \mbox{für} x<0,5 \\ x^4+s & \mbox{für} x\geq 0,5 \end{cases} \end{eqnarray}$ Du hast zwei Bedingungen: 1. Stetigkeit: $\begin{eqnarray} \lim_{x\nearrow 0,5}F(x)=F(0,5)=\lim_{x\searrow 0,5}F(x) \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \lim_{x\nearrow 0,5}F(x)=\lim_{x\nearrow 0,5}tx^3-2=\frac{t}{8}-2=F(0,5) \end{eqnarray}$ ist nur noch die rechte Gleichung zu überprüfen. Da aber $\begin{eqnarray} \lim_{x\searrow 0,5}F(x)=\lim_{x\searrow 0,5}x^4+s=\frac{1}{16}+s \end{eqnarray}$ ist, ist die Stetigkeit äquivalent zur Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{t}{8}-2=\frac{1}{16}+s \end{eqnarray}$ 2. Differenzierbarkeit: Hier muss gelten: $\begin{eqnarray} \lim_{x\nearrow 0,5}\frac{F(x)-F(0,5)}{x-0,5}=\lim_{x\searrow 0,5}\frac{F(x)-F(0,5)}{x-0,5} \end{eqnarray}$ Wenn die Stetigkeit (1) erfüllt ist, dann vereinfacht sich das so: $\begin{eqnarray} \lim_{x\nearrow 0,5}F'(x)=\lim_{x\searrow 0,5}F'(x) \end{eqnarray}$ oder also $\begin{eqnarray} \frac{3t}{4}=\frac{4}{8} \end{eqnarray}$ . Zwei Gleichungen für zwei Variablen dürfte zu schaffen sein.
20.03.2005, 21:57	Tobias84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss sagen, ich verstehe dich nicht. Wir haben das einfacher gemacht. t+0.5³ - 2 = - 0.5^4+s Würde es klappen, wenn ich dort nen S Wert heraus bekomme, bsp S=4t diesen dann oben einsetze bsp. t+0.5³ - 2 = - 0.5^4+4t oder wäre das so falsch vom Gedanken?

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